Seja a uma constante. Calcule a transformada de Laplace de f(t)=sin a t-a t cos a t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=sin at - a tcos at. O conteúdo envolve usar a transformada de sin at e a propriedade que relaciona t,g(t) à derivada em s da transformada de g(t).

Passo 2

Lembrando a transformada de sin at:
Lsin at = as^2 + a^2
Para lidar com a tcos at, usamos a propriedade

Passo 3

Primeiro,
Lcos at = ss^2 + a^2
Logo,
$$\mathcal{L}{a t\cos at}
= a,\mathcal{L}{t\cos at}
= -a,\frac{d}{ds}!
\biggl(\frac{s}{s^2 + a^2}\biggr)
$$

Passo 4

Calculando a derivada:
dds! gl(ss^2 + a^2gr) = (s^2 + a^2) - 2s^2(s^2 + a^2)^2 = a^2 - s^2(s^2 + a^2)^2

Passo 5

Portanto
$$\mathcal{L}{a t\cos at}
= a\cdot\frac{s^2 - a2}{(s2 + a2)2}$$
Agora combinamos os dois resultados: La tcos at = acdots^2 - a^2(s^2 + a^2)^2

Resposta

2a^3(s^2 + a^2)^2

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