Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t):
F(s)=3 s-2s^2(s^2+s-12).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=3s-2s^2(s^2+s-12),
ou seja, queremos encontrar f(t)=L^-1lF(s)r(t). Vamos usar decomposição em frações parciais, fatorar o denominador e inverter cada termo usando tabelas conhecidas de transformada de Laplace.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^2,(s^2 + s - 12)=s^2,(s+4),(s-3)
Logo, propomos
3s-2s^2(s+4)(s-3) =As+Bs^2+Cs+4+Ds-3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s^2(s+4)(s-3) e igualamos polinômios:
3s-2 =A,s,(s+4)(s-3) +B,(s+4)(s-3) +C,s^2,(s-3) +D,s^2,(s+4)
Expandindo e agrupando termos em potências de s, obtemos o sistema
A + C + D = 0, A + B - 3C + 4D = 0, -12A + B = 3, -12B = -2

Passo 4

Da última equação tiramos imediatamente
-12B=-2 Longrightarrow B=16

Passo 5

Usando -12A + B=3 com B=1/6:
-12A + tfrac16=3 Longrightarrow -12A=176 Longrightarrow A=-1772

Passo 6

Ficam as duas equações lineares
A + C + D = 0, A + B -3C + 4D =0,
com A=-tfrac1772 e B=tfrac16. Substituindo e resolvendo, achamos
C=18, D=19

Passo 7

Portanto a decomposição em frações parciais é
F(s) =-1772,1s +16,1s^2 +18,1s+4 +19,1s-3
Aplicando a transformada inversa termo a termo (sabendo que L^-11/s=1, L^-11/s^2=t, L^-11/(s+a)=e^-a t, L^-11/(s-a)=e^a t), temos
f(t) =-1772 +16,t +18,e^-4t +19,e^3t

Resposta

f(t)=-1772+16t+18e^-4t+19e^3t

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