Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t):
F(s)=2s^2(s-12)(s+3)+3(s-12)(s+3).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s^2(s-12)(s+3)+3(s-12)(s+3)
O conteúdo envolvido é fração parcial de Laplace e transformada inversa de cada termo simples.

Passo 2

Separamos
F(s)=F1(s)+F2(s),
onde
F1(s)=2s^2(s-12)(s+3), F2(s)=3(s-12)(s+3)
Começamos por F2(s), que admite decomposição
3(s-12)(s+3)=As-12+Bs+3
Multiplicando por (s-12)(s+3) obtemos
3=A(s+3)+B(s-12)
Tomando s=12 3=15Aimplies A=tfrac15, e s=-3 3=-15Bimplies B=-tfrac15. Logo
F2(s)=1/5s-12-1/5s+3

Passo 3

Aplicando transformada inversa em F2(s):
L^-1l[tfrac1/5s-12r]=tfrac15e^12t, L^-1l[-tfrac1/5s+3r]=-tfrac15e^-3t
Portanto
f2(t)=15e^12t-15e^-3t

Passo 4

Agora decompondo
F1(s)=2s^2(s-12)(s+3) =As+Bs^2+Cs-12+Ds+3
Multiplicando por s^2(s-12)(s+3) resulta
2=A,s(s-12)(s+3)+B,(s-12)(s+3)+C,s^2(s+3)+D,s^2(s-12)
Usando s=0,12,-3 e comparação de coeficientes, obtemos
A=172, B=-118, C=11080, D=-2135
Logo
F1(s)=1/72s-1/18s^2+1/1080s-12-2/135s+3

Passo 5

Aplicando transformada inversa em cada termo de F1(s):
L^-1l[tfrac1/72sr]=tfrac172, L^-1l[-tfrac1/18s^2r]=-tfrac118,t,
L^-1l[tfrac1/1080s-12r]=tfrac11080e^12t, L^-1l[-tfrac2/135s+3r]=-tfrac2135e^-3t
Assim
f1(t)=172-118t+11080e^12t-2135e^-3t

Passo 6

Somando f1(t) e f2(t) e combinando termos exponenciais:
f(t)=172-118t +l(11080+15r)e^12t +l(-2135-15r)e^-3t
Calculando os coeficientes:
11080+15=1+2161080=2171080, -2135-15=-2+27135=-29135

Resposta

boxedf(t)=172-118t+2171080e^12t-29135e^-3t

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