Determine as derivadas parciais das seguintes funções: w=ln (t s)+ts.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
w(t,s)=lnl(t,sr)+ts
O conteúdo envolve derivada de logaritmo (regra da cadeia) e derivada de quociente (ou constante vezes s^-1). Vamos calcular separadamente partial wpartial t e partial wpartial s.

Passo 2

Para partial wpartial t, tratamos s como constante.
  1. Derivada de ln(t,s): pela regra da cadeia,
ddtln(t,s) =1t,scdotddt(t,s) =1t,scdot s =1t
  1. Derivada de ts: como 1/s é constante em relação a t,
ddtgl(tsgr) =1s
Somando,
partial wpartial t =1t+1s

Passo 3

Para partial wpartial s, tratamos t como constante.
  1. Derivada de ln(t,s):
ddsln(t,s) =1t,scdotdds(t,s) =1t,scdot t =1s
  1. Derivada de ts: podemos ver como tcdot s^-1, então
ddsl(t,s^-1r) =tcdot(-1),s^-2 =-ts^2
Somando,
partial wpartial s =1s-ts^2

Passo 4

Podemos deixar partial wpartial s com denominador comum:
1s-ts^2 =ss^2-ts^2 =s-ts^2

Resposta

partial wpartial t =1t+1s, partial wpartial s =1s-ts^2 =s-ts^2

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