Determine as derivadas parciais das seguintes funções: z=e^-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função z = e^-x^2-y^2 . Isso tudo faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Vamos precisar entender como derivar exponenciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos derivar z em relação a x e depois em relação a y , tratando a outra variável como uma constante cada vez.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x .
A função é z = e^-x^2-y^2 . Para derivar em relação a x , tratamos y como constante. Aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial x = e^-x^2-y^2 cdot partialpartial x(-x^2-y^2) = e^-x^2-y^2 cdot (-2x) = -2x cdot e^-x^2-y^2

Passo 4

Agora, vamos derivar z em relação a y , ou seja, partial zpartial y .
Novamente, a função é z = e^-x^2-y^2 . Desta vez, tratamos x como constante. Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial y = e^-x^2-y^2 cdot partialpartial y(-x^2-y^2) = e^-x^2-y^2 cdot (-2y) = -2y cdot e^-x^2-y^2

Resposta

As derivadas parciais da função z = e^-x^2-y^2 são:
partial zpartial x = -2x cdot e^-x^2-y^2
e
partial zpartial y = -2y cdot e^-x^2-y^2

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