Determine os valores de máximo e de mínimo, caso existam, de f(x)=x^3-3 x^2+3 x-1 no intervalo [0,3].

Passo 1

O enunciado pede os valores de máximo e mínimo de f(x)=x^3-3 x^2+3 x-1 no intervalo fechado [0,3]. Para isso vamos usar o critério de derivada: encontrar os pontos críticos onde f'(x)=0 (ou não existe), estudar a monotonicidade e comparar valores em pontos críticos e em extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2+3x-1r) =3x^2-6x+3 =3(x-1)^2
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja, de
3(x-1)^2=0Longrightarrow x=1

Passo 3

Como (x-1)^2>=0 para todo x, temos f'(x)=3(x-1)^2>=0 em R. Logo, f é não decrescente em todo o domínio. O ponto x=1 é um ponto de platô (derivada zero dupla), não gerando máximo nem mínimo local. Assim, os candidatos a extremos globais em [0,3] são apenas os extremos do intervalo: x=0 e x=3.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=0, x=1 e x=3:
f(0)=0^3-3cdot0^2+3cdot0-1=-1,
f(1)=1-3+3-1=0,
f(3)=3^3-3cdot3^2+3cdot3-1 =27-27+9-1=8

Passo 5

Comparando os valores:
f(0)=-1, f(1)=0, f(3)=8,
vemos que o menor valor é -1 em x=0 e o maior é 8 em x=3.

Resposta

O valor mínimo de f em [0,3] é -1 (em x=0) e o valor máximo é 8 (em x=3).

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