Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: f(x, y)=e^-y sen x.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=e^-ysin x
O conteúdo necessário é:
– Derivação parcial em relação a x (tratando y como constante) e em relação a y (tratando x como constante);
– Uso da regra da cadeia para e^-y e da derivada de sin x.

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x.
Como y é constante, a única parte que varia é sin x, cuja derivada é cos x. Logo,
fx = partialpartial xl(e^-ysin xr) = e^-ycos x

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y.
Aqui x é constante e derivamos e^-y pela regra da cadeia, obtendo -e^-y. Portanto,
fy = partialpartial yl(e^-ysin xr) = -,e^-ysin x

Passo 4

A partir de fx, obtemos duas segundas derivadas:
fxx derivando fx em relação a x;
fxy derivando fx em relação a y.
Derivando fx = e^-ycos x em relação a x:
fxx = partialpartial xl(e^-ycos xr) = -,e^-ysin x
Derivando fx = e^-ycos x em relação a y:
fxy = partialpartial yl(e^-ycos xr) = -,e^-ycos x

Passo 5

A partir de fy, obtemos as outras duas segundas derivadas:
fyx derivando fy em relação a x;
fyy derivando fy em relação a y.
Derivando fy = -,e^-ysin x em relação a x:
fyx = partialpartial xl(-,e^-ysin xr) = -,e^-ycos x
Derivando fy = -,e^-ysin x em relação a y:
fyy = partialpartial yl(-,e^-ysin xr) = +,e^-ysin x

Resposta

fxx = -,e^-ysin x, fxy = -,e^-ycos x, fyx = -,e^-ycos x, fyy = e^-ysin x

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