Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-z, y-z, x-y)
Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - z, y - z, x - y) . Além disso, temos que achar uma base para esse núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo, como resolver sistemas de equações lineares e como determinar uma base para um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que, ao serem aplicados na transformação T , resultam no vetor zero. Ou seja:
Ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0, 0)

Passo 3

Agora, vamos colocar a definição de T(x, y, z) igual a zero e montar o sistema de equações:
T(x, y, z) = (x - z, y - z, x - y) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema:
x - z = 0 y - z = 0 x - y = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos:
x - z = 0 implies x = z
Da segunda equação:
y - z = 0 implies y = z
E da terceira equação:
x - y = 0 implies x = y

Passo 5

Com essas igualdades, percebemos que todas as variáveis são iguais entre si. Ou seja, x = y = z . Portanto, qualquer vetor no núcleo de T pode ser escrito como:
(x, y, z) = (z, z, z) = z cdot (1, 1, 1)
onde z é um número real qualquer.

Passo 6

Assim, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de (1, 1, 1) . Em notação matemática:
Ker(T) = z cdot (1, 1, 1) mid z in R
Isso significa que o núcleo é uma reta passando pela origem e na direção do vetor (1, 1, 1) .

Passo 7

Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. Como o núcleo é formado por todos os múltiplos de (1, 1, 1) , basta tomar esse vetor como base.
Portanto, uma base para Ker(T) é:
(1, 1, 1)

Resposta

O núcleo de T é Ker(T) = z cdot (1, 1, 1) mid z in R e uma base para este subespaço é , (1, 1, 1) , .

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