Determine o núcleo de e encontre uma base para este subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear definida por . Além disso, temos que achar uma base para esse núcleo. Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo, como resolver sistemas de equações lineares e como determinar uma base para um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que, ao serem aplicados na transformação , resultam no vetor zero. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos colocar a definição de igual a zero e montar o sistema de equações:
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos:
x - z = 0 implies x = z
Da segunda equação:
y - z = 0 implies y = z
E da terceira equação:
x - y = 0 implies x = y
Passo 5
Com essas igualdades, percebemos que todas as variáveis são iguais entre si. Ou seja, x = y = z . Portanto, qualquer vetor no núcleo de T pode ser escrito como:
(x, y, z) = (z, z, z) = z cdot (1, 1, 1)
onde z é um número real qualquer.
Passo 6
Assim, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos de (1, 1, 1) . Em notação matemática:
Ker(T) = z cdot (1, 1, 1) mid z in R
Isso significa que o núcleo é uma reta passando pela origem e na direção do vetor (1, 1, 1) .
Passo 7
Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o núcleo. Como o núcleo é formado por todos os múltiplos de (1, 1, 1) , basta tomar esse vetor como base.
Portanto, uma base para Ker(T) é:
(1, 1, 1)
Resposta
O núcleo de T é Ker(T) = z cdot (1, 1, 1) mid z in R e uma base para este subespaço é , (1, 1, 1) , .