Determine as inversas das seguintes matrizes:
A=[ccc1 & 2 & 3 2 & 5 & 7 3 & 7 & 11]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da matriz A = [ccc1 & 2 & 3 2 & 5 & 7 3 & 7 & 11] . O conteúdo principal aqui é a inversão de matrizes, que é super útil quando queremos resolver sistemas de equações ou outras operações matemáticas. Para isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Nem toda matriz tem inversa, e para que uma matriz quadrada seja invertível, o determinante dela não pode ser zero. Então, vamos calcular o determinante de A .
O determinante de uma matriz 3x3 [ccca & b & c d & e & f g & h & i] é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(5 times 11 - 7 times 7) - 2(2 times 11 - 7 times 3) + 3(2 times 7 - 5 times 3)
Vamos calcular cada parte:
= 1(55 - 49) - 2(22 - 21) + 3(14 - 15) = 1(6) - 2(1) + 3(-1) = 6 - 2 - 3 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz A é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que A tem inversa, vamos encontrar a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Os cofatores são calculados determinando o determinante de cada menor da matriz e aplicando um sinal de acordo com a posição.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de A :
  1. Cofator C11 :
|cc5 & 7 7 & 11| = 5 times 11 - 7 times 7 = 55 - 49 = 6
C11 = (+1) times 6 = 6
  1. Cofator C12 :
|cc2 & 7 3 & 11| = 2 times 11 - 7 times 3 = 22 - 21 = 1
C12 = (-1) times 1 = -1
  1. Cofator C13 :
|cc2 & 5 3 & 7| = 2 times 7 - 5 times 3 = 14 - 15 = -1
C13 = (+1) times (-1) = -1
  1. Cofator C21 :
|cc2 & 3 7 & 11| = 2 times 11 - 3 times 7 = 22 - 21 = 1
C21 = (-1) times 1 = -1
  1. Cofator C22 :
|cc1 & 3 3 & 11| = 1 times 11 - 3 times 3 = 11 - 9 = 2
C22 = (+1) times 2 = 2
  1. Cofator C23 :
|cc1 & 2 3 & 7| = 1 times 7 - 2 times 3 = 7 - 6 = 1
C23 = (-1) times 1 = -1
  1. Cofator C31 :
|cc2 & 3 5 & 7| = 2 times 7 - 3 times 5 = 14 - 15 = -1
C31 = (+1) times (-1) = -1
  1. Cofator C32 :
|cc1 & 3 2 & 7| = 1 times 7 - 3 times 2 = 7 - 6 = 1
C32 = (-1) times 1 = -1
  1. Cofator C33 :
|cc1 & 2 2 & 5| = 1 times 5 - 2 times 2 = 5 - 4 = 1
C33 = (+1) times 1 = 1
Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Cof(A) = [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ]

Passo 4

A próxima etapa é obter a matriz adjunta de A , que é a transposta da matriz de cofatores. Transpor significa trocar as linhas pelas colunas.
Então, transpondo Cof(A) :
Adj(A) = [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ]^T = [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ]
No caso dessa matriz específica, a adjunta fica igual à matriz de cofatores porque ela já é simétrica.

Passo 5

Agora que temos a matriz adjunta e já sabemos que o determinante é 1, podemos encontrar a matriz inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times Adj(A)
Substituindo os valores:
A^-1 = 11 times [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ] = [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ]

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = [ccc 6 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 ]

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