Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da matriz A = [ccc1 & 2 & 3 2 & 5 & 7 3 & 7 & 11] . O conteúdo principal aqui é a inversão de matrizes, que é super útil quando queremos resolver sistemas de equações ou outras operações matemáticas. Para isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Nem toda matriz tem inversa, e para que uma matriz quadrada seja invertível, o determinante dela não pode ser zero. Então, vamos calcular o determinante de A .
O determinante de uma matriz 3x3 [ccca & b & c d & e & f g & h & i] é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(5 times 11 - 7 times 7) - 2(2 times 11 - 7 times 3) + 3(2 times 7 - 5 times 3)
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz A é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que A tem inversa, vamos encontrar a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Os cofatores são calculados determinando o determinante de cada menor da matriz e aplicando um sinal de acordo com a posição.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de A :
Cofator C11 :
|cc5 & 7 7 & 11| = 5 times 11 - 7 times 7 = 55 - 49 = 6
C11 = (+1) times 6 = 6
Cofator C12 :
|cc2 & 7 3 & 11| = 2 times 11 - 7 times 3 = 22 - 21 = 1
C12 = (-1) times 1 = -1
Cofator C13 :
|cc2 & 5 3 & 7| = 2 times 7 - 5 times 3 = 14 - 15 = -1
C13 = (+1) times (-1) = -1
Cofator C21 :
|cc2 & 3 7 & 11| = 2 times 11 - 3 times 7 = 22 - 21 = 1
C21 = (-1) times 1 = -1
Cofator C22 :
|cc1 & 3 3 & 11| = 1 times 11 - 3 times 3 = 11 - 9 = 2
C22 = (+1) times 2 = 2
Cofator C23 :
|cc1 & 2 3 & 7| = 1 times 7 - 2 times 3 = 7 - 6 = 1
C23 = (-1) times 1 = -1
Cofator C31 :
|cc2 & 3 5 & 7| = 2 times 7 - 3 times 5 = 14 - 15 = -1
C31 = (+1) times (-1) = -1
Cofator C32 :
|cc1 & 3 2 & 7| = 1 times 7 - 3 times 2 = 7 - 6 = 1
C32 = (-1) times 1 = -1
Cofator C33 :
|cc1 & 2 2 & 5| = 1 times 5 - 2 times 2 = 5 - 4 = 1
C33 = (+1) times 1 = 1
Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores: