Em R^3, considere os subespaços:
U=(x, y, z): x+z=-2 y e W=[(1,0,1)]
Determine uma base e a dimensão de U

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do subespaço U em R^3 . O que isso significa? Uma base é um conjunto de vetores que são linhas e independentes, e que juntos geram todo o subespaço U . A dimensão de U é simplesmente o número de vetores nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e como encontrar vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço U . Ele é definido por todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem a equação:
x + z = -2y
Podemos reescrever essa equação para facilitar:
x + 2y + z = 0
Essa é uma equação linear que representa um plano em três dimensões. Então, U é um plano que passa pela origem em R^3 .

Passo 3

Para encontrar uma base para U , precisamos encontrar vetores que estão nesse plano e que são linhas e independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras para facilitar.
Vamos resolver a equação x + 2y + z = 0 para uma das variáveis, por exemplo, x :
x = -2y - z
Agora, podemos escrever um vetor genérico em U como:
(x, y, z) = (-2y - z, y, z)
Isso pode ser separado em termos de y e z :
(x, y, z) = y cdot (-2, 1, 0) + z cdot (-1, 0, 1)
Aqui, identificamos dois vetores:
v1 = (-2, 1, 0) e v2 = (-1, 0, 1)

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esses vetores são independentes. Dois vetores são independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar diferente de zero. Olhando para v1 e v2 , não há nenhum número que multiplique v1 para resultar em v2 , então eles são independentes.

Passo 5

Como encontramos dois vetores que são independentes e que geram todo o subespaço U , esses vetores formam uma base para U . Portanto, a base de U é:
, (-2, 1, 0), (-1, 0, 1) ,
E como temos dois vetores nessa base, a dimensão de U é 2.

Resposta

Uma base para U é , (-2, 1, 0), (-1, 0, 1) , e a dimensão de U é 2.

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