Em
, considere os subespaços:
Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do subespaço
em
. O que isso significa? Uma base é um conjunto de vetores que são linhas e independentes, e que juntos geram todo o subespaço
. A dimensão de
é simplesmente o número de vetores nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e como encontrar vetores que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço
. Ele é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação:
Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Essa é uma equação linear que representa um plano em três dimensões. Então,
é um plano que passa pela origem em
.
Passo 3
Para encontrar uma base para
, precisamos encontrar vetores que estão nesse plano e que são linhas e independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras para facilitar.
Vamos resolver a equação
para uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, podemos escrever um vetor genérico em
como:
Isso pode ser separado em termos de
e
:
Aqui, identificamos dois vetores:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esses vetores são independentes. Dois vetores são independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar diferente de zero. Olhando para
e
, não há nenhum número que multiplique
para resultar em
, então eles são independentes.
Passo 5
Como encontramos dois vetores que são independentes e que geram todo o subespaço
, esses vetores formam uma base para
. Portanto, a base de
é:
E como temos dois vetores nessa base, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.