Justifique por que não é possível encontrar uma lista de 4 vetores Linearmente Independente em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Justifique por que não é possível encontrar uma lista de 4 vetores Linearmente Independente em
.” Aqui, estamos lidando com o conceito de indepência linear em espaços vetoriais, especificamente no espaço tridimensional
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como isso se relaciona com a dimensão do espaço onde os vetores estão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em outras palavras, não podemos escrever nenhum vetor da lista como uma combinação dos outros.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independentes que ele pode conter. No caso de
, a dimensão é 3. Isso significa que o maior conjunto de vetores linearmente independentes que podemos ter nesse espaço é de 3 vetores.
Passo 4
Se tentarmos adicionar mais vetores a esse conjunto, ou seja, ter 4 vetores, inevitavelmente um deles poderá ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso porque já atingimos a dimensão máxima do espaço. Portanto, não é possível ter 4 vetores linearmente independentes em
, já que a dimensão limita o número de vetores independentes.
Resposta
Não é possível encontrar uma lista de 4 vetores linearmente independentes em
porque a dimensão de
é 3, o que limita o número máximo de vetores linearmente independentes a três. Adicionar um quarto vetor necessariamente resultaria em dependência linear.