Considere S=(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1). Determine se S é linearmente independente. Caso contrário, encontre um subconjunto linearmente independente que gera o mesmo subespaço.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = ,v1=(1,0,0),;v2=(0,1,0),;v3=(1,1,0),;v4=(0,0,1)
em R^3. Precisamos testar se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se a única solução da combinação
lambda1v1 + lambda2v2 + lambda3v3 + lambda4v4 = (0,0,0)
é lambda1=lambda2=lambda3=lambda4=0. Se não forem independentes, devemos extrair um subconjunto que seja independente e ainda gere o mesmo subespaço.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
lambda1(1,0,0) + lambda2(0,1,0) + lambda3(1,1,0) + lambda4(0,0,1) = (lambda1+lambda3,;lambda2+lambda3,;lambda4) = (0,0,0)
Isto gera o sistema
lambda1 + lambda3 = 0, lambda2 + lambda3 = 0, lambda4 = 0
Da primeira e da segunda equações vem lambda3 = -lambda1 e lambda3 = -lambda2, logo lambda1=lambda2. Assim existe a família de soluções
lambda1 = t, lambda2 = t, lambda3 = -t, lambda4=0,
com tneq0. Portanto há solução não trivial e S é linearmente dependente.

Passo 3

Como encontramos dependência, vemos que
Isso mostra que é redundante. Basta então ficar com
Esse conjunto tem três vetores em e é formado pelos vetores-canônicos, que são conhecidos por serem linearmente independentes e geram todo . Como e , concluímos que gera o mesmo subespaço de .

Resposta

S não é linearmente independente.
Um subconjunto independente que gera o mesmo subespaço é
(1,0,0),;(0,1,0),;(0,0,1)

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