Mostre que o conjunto de vetores (1,0,-1),(0,1,1),(1,1,0) em R^3 é linearmente dependente e encontre uma relação de dependência linear entre eles.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=(1,0,-1), v2=(0,1,1), v3=(1,1,0),
e pede para mostrar que eles são linearmente dependentes e encontrar uma relação de dependência linear. Vamos usar a definição: existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=(0,0,0)

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica:
alpha(1,0,-1)+beta(0,1,1)+gamma(1,1,0)=(0,0,0)
Ao somar coordenada a coordenada obtemos um sistema em alpha,beta,gamma.

Passo 3

De x-, y- e z-coordenadas vêm as equações
alpha+gamma=0, beta+gamma=0, -alpha+beta=0

Passo 4

Da terceira equação segue beta=alpha. Substituindo em beta+gamma=0 alpha+gamma=0, logo gamma=-alpha. Como podemos escolher alphaneq0, há solução não trivial, provando dependência.

Passo 5

Tomando alpha=1 obtemos beta=1 e gamma=-1. Isso gera a relação
1cdot v1+1cdot v2-1cdot v3=(0,0,0),
ou seja v1+v2-v3=0.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente. Uma relação de dependência linear é
(1,0,-1)+(0,1,1)-(1,1,0)=(0,0,0)

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