Seja S=p1(x), p2(x), p3(x) com p1(x)=1, p2(x)=x, e p3(x)=x^2. Mostre que S gera P2 e determine se S é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=p1(x),p2(x),p3(x)
com
p1(x)=1,
p2(x)=x e
p3(x)=x^2,
e pede para mostrar que S gera o espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2) e verificar se S é linearmente independente. Vamos usar as definições:
  • “Gera” significa que qualquer polinômio de grau <=2 pode ser escrito como combinação linear de p1,p2,p3.
  • “Linearmente independente” significa que a única combinação
    alpha p1(x)+beta p2(x)+gamma p3(x)=0
    para todo x é a combinação trivial alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Seja um polinômio arbitrário de grau <=2 em P2:
q(x)=a,x^2 + b,x + c,
com a,b,cin R. Podemos reescrevê-lo como
q(x)=ccdot 1 ;+; bcdot x ;+; acdot x^2 = c,p1(x) + b,p2(x) + a,p3(x)
Isso mostra que q é combinação linear de p1,p2,p3. Como q era genérico em P2, concluímos que S gera P2.

Passo 3

Para checar a independência linear, considere a combinação linear nula
alpha,p1(x) + beta,p2(x) + gamma,p3(x) = 0 para todo (x)
Substituindo p1,p2,p3 temos
alpha + beta,x + gamma,x^2 = 0 como polinômio identicamente nulo ô
Um polinômio é nulo para todo x somente se todos os seus coeficientes forem zero, logo
alpha=0, beta=0 e gamma=0.
Portanto, a combinação trivial é a única e S é linearmente independente.

Resposta

S gera P2 e é linearmente independente.

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