Seja
com
, e
. Mostre que
gera
e determine se
é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com
,
e
,
e pede para mostrar que gera o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e verificar se
é linearmente independente. Vamos usar as definições:
com
e pede para mostrar que
- “Gera” significa que qualquer polinômio de grau
pode ser escrito como combinação linear de . - “Linearmente independente” significa que a única combinação
para todoé a combinação trivial .
Passo 2
Seja um polinômio arbitrário de grau
em
:
com
. Podemos reescrevê-lo como
Isso mostra que
é combinação linear de
. Como
era genérico em
, concluímos que
gera
.
Passo 3
Para checar a independência linear, considere a combinação linear nula
Substituindo
temos
Um polinômio é nulo para todo
somente se todos os seus coeficientes forem zero, logo
,
e
.
Portanto, a combinação trivial é a única e é linearmente independente.
Portanto, a combinação trivial é a única e