Mostre que o conjunto S=(1,0,-1),(0,1,2),(1,1,1) gera R^3.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (1,0,-1),;(0,1,2),;(1,1,1)
e pede para mostrar que S gera R^3. Aqui usamos conceitos de espaço gerado (span) e de independência linear: um conjunto gera R^3 se, e somente se, seus vetores forem linearmente independentes e formarem uma base.

Passo 2

Para checar independência linear, montamos a matriz A cujas colunas são os vetores de S:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando a fórmula de Laplace na primeira linha:
det(A) =1cdot 1 & 1 2 & 1 -0cdot(dots) +1cdot 0 & 1 -1 &2
Agora,
1 & 1 2 & 1 =1cdot1 - 1cdot2 = -1, 0 & 1 -1 &2 =0cdot2 - 1cdot(-1)=1
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det(A)=1cdot(-1)+1cdot1=0

Passo 4

Como det(A)=0, os 3 vetores são linearmente dependentes. De fato dá para ver diretamente que
(1,1,1) = (1,0,-1) + (0,1,2)
Isso mostra que v3 é combinação linear de v1 e v2, então dim(Span(S))=2.

Passo 5

Num espaço de dimensão 3, para gerar R^3 precisamos de 3 vetores independentes. Aqui só conseguimos dimensão 2, portanto S não gera R^3.

Resposta

O conjunto S não gera R^3, pois seus vetores são linearmente dependentes e só formam um subespaço de dimensão 2.

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