Considere r(t)=raiz2 cos (t) i+t j+raiz2 sen(t) k.
Determine a Curvatura kappa(t) da curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço tridimensional: r(t) = raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k. Nosso objetivo aqui é encontrar a curvatura dessa curva, representada por kappa(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente utilizando derivadas para determinar como a curva está se comportando.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a curvatura kappa(t) mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para encontrar kappa(t), usamos a seguinte fórmula:
kappa(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3
Aqui, r'(t) é a primeira derivada de r(t) em relação a t, que representa a velocidade, e r''(t) é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo times indica o produto vetorial, e as barras | | representam o módulo do vetor.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada r'(t):
r'(t) = ddt ( raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k ) = -raiz2 sin(t) i + j + raiz2 cos(t) k

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada r''(t):
r''(t) = ddt ( -raiz2 sin(t) i + j + raiz2 cos(t) k ) = -raiz2 cos(t) i - raiz2 sin(t) k

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t). Lembrando que o produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois:
r'(t) times r''(t) = i & j & k -raiz2 sin(t) & 1 & raiz2 cos(t) -raiz2 cos(t) & 0 & -raiz2 sin(t)
Calculando o determinante:
r'(t) times r''(t) = (1 cdot (-raiz2 sin(t)) - raiz2 cos(t) cdot 0) i - (-raiz2 sin(t) cdot (-raiz2 sin(t)) - raiz2 cos(t) cdot (-raiz2 cos(t))) j + (-raiz2 sin(t) cdot 0 - 1 cdot (-raiz2 cos(t))) k
Simplificando:
r'(t) times r''(t) = (-raiz2 sin(t)) i - (2 sin^2(t) + 2 cos^2(t)) j + (raiz2 cos(t)) k
Usando a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1:
r'(t) times r''(t) = -raiz2 sin(t) i - 2(sin^2(t) + cos^2(t)) j + raiz2 cos(t) k = -raiz2 sin(t) i - 2 j + raiz2 cos(t) k

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|r'(t) times r''(t)| = raiz (-raiz2 sin(t))^2 + (-2)^2 + (raiz2 cos(t))^2 = raiz 2 sin^2(t) + 4 + 2 cos^2(t) = raiz2(sin^2(t) + cos^2(t)) + 4 = raiz2(1) + 4 = raiz6

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo de r'(t):
|r'(t)| = raiz (-raiz2 sin(t))^2 + 1^2 + (raiz2 cos(t))^2 = raiz 2 sin^2(t) + 1 + 2 cos^2(t) = raiz2(sin^2(t) + cos^2(t)) + 1 = raiz2(1) + 1 = raiz3

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 = raiz6(raiz3)^3 = raiz63 raiz3 = raiz23

Resposta

A curvatura da curva é kappa(t) = dfracraiz23.

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