Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço tridimensional: . Nosso objetivo aqui é encontrar a curvatura dessa curva, representada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente utilizando derivadas para determinar como a curva está se comportando.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a curvatura mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para encontrar , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade, e é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo indica o produto vetorial, e as barras representam o módulo do vetor.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada :
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada :
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois: