Considere f(x)=2 e^x, determine o volume do sólido de revolução em relação ao eixo x, na região em que 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da função f(x) = 2e^x em torno do eixo x , na faixa de 0 <= x <= 1 . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente tem uma função sendo rotacionada em torno do eixo x , o volume do sólido formado pode ser calculado integrando a área de infinitos discos circulares ao longo do intervalo. A fórmula para isso é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, V é o volume, a e b são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1), e f(x) é a função que está sendo rotacionada.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. A função dada é f(x) = 2e^x , então precisamos elevar essa função ao quadrado:
[f(x)]^2 = (2e^x)^2 = 4e^2x

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 4e^2x , dx
Podemos tirar o 4 da integral, já que é uma constante:
V = 4pi integral0^1 e^2x , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral integral e^2x , dx . Sabemos que a integral de e^kx em relação a x é 1k e^kx + C , onde C é a constante de integração. Então:
integral e^2x , dx = 12 e^2x + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
4pi [ 12 e^2x ]0^1 = 4pi ( 12 e^2(1) - 12 e^2(0) )
Simplificando:
4pi ( e^22 - 12 ) = 4pi cdot e^2 - 12
V = 2pi (e^2 - 1)

Resposta

O volume do sólido de revolução é V = 2pi (e^2 - 1) .

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