Considere
, determine o volume do sólido de revolução em relação ao eixo
, na região em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da função
em torno do eixo
, na faixa de
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente tem uma função sendo rotacionada em torno do eixo
, o volume do sólido formado pode ser calculado integrando a área de infinitos discos circulares ao longo do intervalo. A fórmula para isso é:
Aqui,
é o volume,
e
são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1), e
é a função que está sendo rotacionada.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. A função dada é
, então precisamos elevar essa função ao quadrado:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Podemos tirar o 4 da integral, já que é uma constante:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.