Considere a equação d yd x+p(x) y=0.
Mostre que se y1(x) é solução da equação, então y(x)=C y1(x) também o é, para qualquer que seja a constante C.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea
dydx + p(x),y = 0,
e pede para mostrar que, se ,y1(x) é uma solução, então qualquer múltiplo constante
,y(x)=C,y1(x) também é solução.

Passo 2

Suponha
y(x) = C,y1(x),
onde C é constante. Como C não depende de x, pela regra da linearidade da derivada temos
dydx = C,dy1dx

Passo 3

Substituindo em dydx+p(x),y=0 obtemos
dydx + p(x),y = C,dy1dx + p(x),C,y1 = Cl(dy1dx + p(x),y1r)
Mas, por hipótese, ,y1 satisfaz
dy1dx + p(x),y1=0,
logo o fator entre parênteses é zero e toda a combinação vale zero.

Resposta

Portanto, y(x)=C,y1(x) também é solução da equação diferencial para qualquer constante C.

Exercícios relacionados