Considere a equação
.
Mostre que se
é solução da equação, então
também o é, para qualquer que seja a constante
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea
e pede para mostrar que, se
é uma solução, então qualquer múltiplo constante
também é solução.
Passo 2
Suponha
onde
é constante. Como
não depende de
, pela regra da linearidade da derivada temos
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Mas, por hipótese,
satisfaz
,
logo o fator entre parênteses é zero e toda a combinação vale zero.
logo o fator entre parênteses é zero e toda a combinação vale zero.
Resposta
Portanto,
também é solução da equação diferencial para qualquer constante
.