Determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo x definido pelo gráfico de f(x)=1-x, na região em que 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a função f(x) = 1 - x é girada em torno do eixo x , no intervalo de x = 0 até x = 1 . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Esse método consiste em imaginar que o sólido é formado por uma série de discos (como fatias de bolo) empilhados ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é pi times raio^2, e o volume total é a soma dessas áreas multiplicadas pela espessura infinitesimal dx .

Passo 3

Aplicando o método dos discos para a função f(x) = 1 - x , o raio de cada disco é dado pelo valor de f(x) . Então, a área de cada disco será:
A(x) = pi times (f(x))^2 = pi times (1 - x)^2
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de x = 0 até x = 1 :
V = integral0^1 pi (1 - x)^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, podemos tirar o pi da integral:
V = pi integral0^1 (1 - x)^2 , dx
Vamos expandir (1 - x)^2 :
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx
Integrando termo a termo:
V = pi [ x - x^2 + x^33 ]0^1
Substituindo os limites:
V = pi [ (1 - 1 + 13) - (0 - 0 + 0) ] = pi times 13

Resposta

O volume do sólido de revolução é pi3 unidades cúbicas.

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