Determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo
definido pelo gráfico de
, na região em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a função
é girada em torno do eixo
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Esse método consiste em imaginar que o sólido é formado por uma série de discos (como fatias de bolo) empilhados ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é
, e o volume total é a soma dessas áreas multiplicadas pela espessura infinitesimal
.
Passo 3
Aplicando o método dos discos para a função
, o raio de cada disco é dado pelo valor de
. Então, a área de cada disco será:
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de
até
:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, podemos tirar o
da integral:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.