Seja f(t)=t e^a t, mostre que L[f(t)]=1(s-a)^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(t)=t,e^a t e pede para calcular a transformada de Laplace
L[f(t)].
O conteúdo aqui é a propriedade de derivação na variável s da transformada de Laplace, além da transformada básica de e^a t.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace, para uma função g(t) temos
L[g(t)](s)=integral0^inftyg(t),e^-s t,dt
Além disso, conhecemos a transformada de Laplace básica
L[e^a t](s)=1s-a,
válida para Re(s)>a.

Passo 3

Existe uma propriedade que diz que multiplicar por t no domínio do tempo equivale a derivar em -s no domínio de s, isto é,
L[t,g(t)](s)=-ddsl[L[g(t)](s)r]

Passo 4

Aplicando essa propriedade com g(t)=e^a t, temos
L[t,e^a t](s) =-ddsgl[L[e^a t](s)gr] =-ddsgl(1s-agr)

Passo 5

Agora basta derivar 1s-a em relação a s:
-ddsgl(1s-agr) =-l(-1r)1(s-a)^2 =1(s-a)^2

Resposta

L[t,e^a t](s) =1(s-a)^2

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