Considere a função f(x)=2 x^2, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, na região em que 0 <= y <= 4.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^2 e pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por essa curva, pelo eixo x (isto é, x=0) e pelas retas y=0 e y=4. O conteúdo aqui é cálculo de volume por revolução, e vamos usar o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).

Passo 2

Começamos isolando x em função de y. Da equação
y = 2x^2
vem
x = raizy2
Para cada valor de yin[0,4], a região vai de x=0 até x=raizy/2.

Passo 3

Pelo método dos discos, o elemento de volume é
dV = pi l(raior)^2 ,dy
em que o raio do disco em altura y é R(y)=x=raizy/2. Logo
dV = pil(raiztfracy2r)^2 dy = piy2,dy

Passo 4

Integrando de y=0 até y=4,
V = integral0^4 piy2,dy = pi2integral0^4y,dy = pi2,gl[y^22gr]0^4 = pi2cdot162 = 4pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é 4pi.

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