Se A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] e B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ 3 & -2\end{array}\right], determine (A B)^{-1} e \left(A^{T}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes inversas de A e B e pede duas coisas:
  • Calcular (AB)^{-1}.
  • Calcular \left(A^{T}\right)^{-1}.
As informações fornecidas são:
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vou usar): para matrizes quadradas invertíveis vale a identidade
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Por que isso é verdade? Porque multiplicando AB por B^{-1}A^{-1} obtemos
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=AA^{-1}=I,
e de maneira análoga (B^{-1}A^{-1})(AB)=I. Ou seja, B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.

Passo 3

Vamos então calcular (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. Multiplicação de matrizes 2×2: cada entrada é produto linha × coluna.
Escrevendo as matrizes:
B^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Calculemos as entradas de C=B^{-1}A^{-1}.
Entrada (1,1): primeira linha de B^{-1} vezes primeira coluna de A^{-1}:
c_{11}=2\cdot 3 + 5\cdot 1 = 6 + 5 = 11.
Entrada (1,2): primeira linha de B^{-1} vezes segunda coluna de A^{-1}:
c_{12}=2\cdot 2 + 5\cdot 3 = 4 + 15 = 19.
Entrada (2,1): segunda linha de B^{-1} vezes primeira coluna de A^{-1}:
c_{21}=3\cdot 3 + (-2)\cdot 1 = 9 - 2 = 7.
Entrada (2,2): segunda linha de B^{-1} vezes segunda coluna de A^{-1}:
c_{22}=3\cdot 2 + (-2)\cdot 3 = 6 - 6 = 0.
Portanto
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}11 & 19 \\[4pt] 7 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Outra identidade útil (e simples de provar) é
\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.
Prova rápida: \;A^{-1}A=I\; implica, ao transpor ambos os lados, \;(A^{-1}A)^{T}=I^{T}, ou seja \;A^{T}(A^{-1})^{T}=I. Assim (A^{-1})^{T} é a inversa de A^{T}.

Passo 5

Aplicando isso ao dado A^{-1}, basta transpor a matriz:
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \left(A^{-1}\right)^{T}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Pelo item anterior essa é exatamente \left(A^{T}\right)^{-1}.]

Resposta

(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}11 & 19 \\[4pt] 7 & 0\end{pmatrix}
\left(A^{T}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}]

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