Se
e
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes inversas de
e
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações fornecidas são:
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vou usar): para matrizes quadradas invertíveis vale a identidade
Por que isso é verdade? Porque multiplicando
por
obtemos
e de maneira análoga
. Ou seja,
é a inversa de
.
Passo 3
Vamos então calcular
. Multiplicação de matrizes 2×2: cada entrada é produto linha × coluna.
Escrevendo as matrizes:
Calculemos as entradas de
.
Entrada
: primeira linha de
vezes primeira coluna de
:
Entrada
: primeira linha de
vezes segunda coluna de
:
Entrada
: segunda linha de
vezes primeira coluna de
:
Entrada
: segunda linha de
vezes segunda coluna de
:
Portanto
Passo 4
Outra identidade útil (e simples de provar) é
Prova rápida:
implica, ao transpor ambos os lados,
, ou seja
. Assim
é a inversa de
.
Passo 5
Aplicando isso ao dado
, basta transpor a matriz:
Pelo item anterior essa é exatamente
.]