Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com sigma=18,30 MPa. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média. (IC=( 220,0 pm 13,6) MPa)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um engenheiro que está analisando a resistência à tração de uma liga de aço. Essa resistência segue uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 18,30 MPa. Ele pegou uma amostra aleatória de 12 corpos de prova e encontrou uma resistência média de 220 MPa. O que precisamos fazer é construir um intervalo de confiança para a resistência média dessa liga de aço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o valor verdadeiro da média da população, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos saber em que intervalo está a média real da resistência à tração dessa liga de aço.

Passo 3

Para construir esse intervalo, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
IC = barx pm Z times ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra;
  • Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado;
  • sigma é o desvio padrão da população;
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra, barx = 220 MPa
  • Desvio padrão da população, sigma = 18,30 MPa
  • Tamanho da amostra, n = 12

Passo 5

Precisamos escolher um nível de confiança. Como não foi especificado, vamos supor que seja de 95%, que é o mais comum. Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico Z é aproximadamente 1,96.

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é a parte sigmaraizn da fórmula:
sigmaraizn = 18,30raiz12 approx 18,303,464 approx 5,28 MPa

Passo 7

Em seguida, multiplicamos o valor crítico Z pelo erro padrão:
1,96 times 5,28 approx 10,36 MPa

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
IC = 220,0 pm 10,36 MPa
Então, o intervalo de confiança fica entre aproximadamente 209,64 MPa e 230,36 MPa.

Resposta

O intervalo de confiança para a resistência média da liga de aço é aproximadamente (209,64 , MPa, , 230,36 , MPa).

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