Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com
. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média. (IC=(
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média. (IC=(
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um engenheiro que está analisando a resistência à tração de uma liga de aço. Essa resistência segue uma distribuição normal com desvio padrão
. Ele pegou uma amostra aleatória de 12 corpos de prova e encontrou uma resistência média de
. O que precisamos fazer é construir um intervalo de confiança para a resistência média dessa liga de aço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha o valor verdadeiro da média da população, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos saber em que intervalo está a média real da resistência à tração dessa liga de aço.
Passo 3
Para construir esse intervalo, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra; -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado; -
é o desvio padrão da população; -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- Média da amostra,
- Desvio padrão da população,
- Tamanho da amostra,
Passo 5
Precisamos escolher um nível de confiança. Como não foi especificado, vamos supor que seja de 95%, que é o mais comum. Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é a parte
da fórmula:
Passo 7
Em seguida, multiplicamos o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 8
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Então, o intervalo de confiança fica entre aproximadamente
e
.
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média da liga de aço é aproximadamente
.