Considere um dipolo elétrico em um campo elétrico externo não uniforme. Calcule a força sobre ele.
Passo 1
O enunciado pede: “Considere um dipolo elétrico em um campo elétrico externo não uniforme. Calcule a força sobre ele.”
Informações relevantes e condições implícitas que vamos usar (tudo que vem do enunciado ou é necessário para resolver):
Informações relevantes e condições implícitas que vamos usar (tudo que vem do enunciado ou é necessário para resolver):
- Temos um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuais
e separadas por um pequeno vetor (do polo negativo para o positivo). - Definimos o momento de dipolo como
. - O campo elétrico externo é não uniforme, isto é
depende da posição. - O dipolo é pequeno em relação à escala de variação de
(podemos fazer expansão em série de Taylor para ao redor do centro do dipolo). - Assumimos campo eletrostático (estacionário), portanto
.
O objetivo concreto: encontrar a expressão vetorial da força resultanteexercida pelo campo sobre o dipolo.
Passo 2
Modelagem do problema e definição das forças sobre as cargas:
- Seja
a posição do centro do dipolo (ou de um ponto de referência, por exemplo o ponto médio entre as cargas). - As posições das cargas são aproximadamente
para e para . - A força sobre a carga
é . - A força sobre a carga
é . - A força total sobre o dipolo é a soma:
.
Agora vamos aproximarpor uma expansão em Taylor até a ordem necessária.
Passo 3
Taylor expandimos
em torno de
(uso opinião didática: escrevo o motivo — como o dipolo é pequeno, só precisamos do termo linear):
- Para
: . - Para
: .
Aqui expliquei o que significa: é um operador vetorial que aplica a derivada direcional componente a componente de . Em notação de componentes, tem componentes , onde é e usamos a soma sobre .
Passo 4
Substituímos as expansões na expressão da força total:
Agora lembramos que
, então substituímos
por
.
Passo 5
Resultado direto e interpretação:
Explicação do que isso significa: a força é um vetor cujas componentes são
ou seja, para cada componente
da força computamos como o momento de dipolo “projeta” nas direções de variação do campo para modificar a componente
. Essa forma é bastante conveniente para cálculos práticos.
Passo 6
Forma alternativa útil (quando o campo é eletrostático):
- Em eletrostática temos
. Usando a identidade vetorial
seguimos que, se
, então
Portanto, para campos eletrostáticos podemos escrever também
Essa forma conecta diretamente com energia potencial: a energia potencial de um dipolo em um campo é
, e então
, como obtido.
Passo 7
Exemplo simples para fixar a intuição (muito comum em prova): campo paralelo ao eixo
que varia com
, isto é
.
- Se
(dipolo alinhado com o campo), então a única componente da força é
Interpretação: se
aumenta na direção positiva
, a força puxa o dipolo na direção onde o produto
é maior. Esse é um resultado simples e útil em exercícios: força longitudinal é momento vezes gradiente do módulo do campo.
Passo 8
Observações, limitações e dicas para prova (empatia e incentivo):
- A dedução usa a aproximação de dipolo pequeno (expansão de Taylor até ordem linear). Se o dipolo não for pequeno comparado à escala de variação do campo, termos de ordem superior aparecem.
- Se o dipolo for induzido pelo campo (isto é
depende de e, portanto, da posição), então você precisa levar em conta a variação de também; aí a expressão fica mais complexa. - Se houver campos não eletrostáticos (dependência temporal ou campos magnéticos variáveis), não se pode usar
e atenção ao uso de identidades vetoriais. - Na prova: memória mnemônica fácil — “força do dipolo = momento projetado nas variações do campo”:
. Guardando isso você resolve a maior parte das questões rápidas.