Considere um dipolo elétrico em um campo elétrico externo não uniforme. Calcule a força sobre ele.

Passo 1

O enunciado pede: “Considere um dipolo elétrico em um campo elétrico externo não uniforme. Calcule a força sobre ele.”
Informações relevantes e condições implícitas que vamos usar (tudo que vem do enunciado ou é necessário para resolver):
  • Temos um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuais +q e -q separadas por um pequeno vetor \mathbf{d} (do polo negativo para o positivo).
  • Definimos o momento de dipolo como \mathbf{p}=q\,\mathbf{d}.
  • O campo elétrico externo é não uniforme, isto é \mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{r}) depende da posição.
  • O dipolo é pequeno em relação à escala de variação de \mathbf{E} (podemos fazer expansão em série de Taylor para \mathbf{E} ao redor do centro do dipolo).
  • Assumimos campo eletrostático (estacionário), portanto \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}.
    O objetivo concreto: encontrar a expressão vetorial da força resultante \mathbf{F} exercida pelo campo sobre o dipolo.

Passo 2

Modelagem do problema e definição das forças sobre as cargas:
  • Seja \mathbf{r} a posição do centro do dipolo (ou de um ponto de referência, por exemplo o ponto médio entre as cargas).
  • As posições das cargas são aproximadamente \mathbf{r}_+=\mathbf{r}+\tfrac{1}{2}\mathbf{d} para +q e \mathbf{r}_-=\mathbf{r}-\tfrac{1}{2}\mathbf{d} para -q.
  • A força sobre a carga +q é \mathbf{F}_+=q\,\mathbf{E}(\mathbf{r}_+).
  • A força sobre a carga -q é \mathbf{F}_-=-q\,\mathbf{E}(\mathbf{r}_-).
  • A força total sobre o dipolo é a soma: \mathbf{F}=\mathbf{F}_+ + \mathbf{F}_-=q\bigl[\mathbf{E}(\mathbf{r}_+)-\mathbf{E}(\mathbf{r}_-)\bigr].
    Agora vamos aproximar \mathbf{E}(\mathbf{r}_\pm) por uma expansão em Taylor até a ordem necessária.

Passo 3

Taylor expandimos \mathbf{E} em torno de \mathbf{r} (uso opinião didática: escrevo o motivo — como o dipolo é pequeno, só precisamos do termo linear):
  • Para \mathbf{r}_+: \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}_+)=\mathbf{E}\!\left(\mathbf{r}+\tfrac{1}{2}\mathbf{d}\right)\approx\mathbf{E}(\mathbf{r})+\tfrac{1}{2}(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r}).
  • Para \mathbf{r}_-: \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}_-)=\mathbf{E}\!\left(\mathbf{r}-\tfrac{1}{2}\mathbf{d}\right)\approx\mathbf{E}(\mathbf{r})-\tfrac{1}{2}(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r}).
    Aqui expliquei o que significa (\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}: é um operador vetorial que aplica a derivada direcional componente a componente de \mathbf{E}. Em notação de componentes, (\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E} tem componentes \bigl[(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}\bigr]_i = d_j\,\partial_j E_i, onde \partial_j é \partial/\partial x_j e usamos a soma sobre j.

Passo 4

Substituímos as expansões na expressão da força total:
\begin{aligned} \mathbf{F} &= q\bigl[\mathbf{E}(\mathbf{r}_+)-\mathbf{E}(\mathbf{r}_-)\bigr] \\\ &\approx q\Bigl[\bigl(\mathbf{E}(\mathbf{r})+\tfrac{1}{2}(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r})\bigr)-\bigl(\mathbf{E}(\mathbf{r})-\tfrac{1}{2}(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r})\bigr)\Bigr] \\\ &= q\bigl[(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r})\bigr]. \end{aligned}
Agora lembramos que \mathbf{p}=q\,\mathbf{d}, então substituímos q\mathbf{d} por \mathbf{p}.

Passo 5

Resultado direto e interpretação:
\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r}).
Explicação do que isso significa: a força é um vetor cujas componentes são
F_i = p_j\,\partial_j E_i,
ou seja, para cada componente i da força computamos como o momento de dipolo “projeta” nas direções de variação do campo para modificar a componente E_i. Essa forma é bastante conveniente para cálculos práticos.

Passo 6

Forma alternativa útil (quando o campo é eletrostático):
  • Em eletrostática temos \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}. Usando a identidade vetorial
\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\mathbf{p}\times(\nabla\times\mathbf{E}),
seguimos que, se \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}, então
(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}).
Portanto, para campos eletrostáticos podemos escrever também
\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}).
Essa forma conecta diretamente com energia potencial: a energia potencial de um dipolo em um campo é \displaystyle U=-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}, e então \mathbf{F}=-\nabla U=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}), como obtido.

Passo 7

Exemplo simples para fixar a intuição (muito comum em prova): campo paralelo ao eixo z que varia com z, isto é \mathbf{E}=E(z)\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Se \mathbf{p}=p_z\,\hat{\mathbf{z}} (dipolo alinhado com o campo), então a única componente da força é
F_z = p_z\,\frac{dE}{dz}.
Interpretação: se E aumenta na direção positiva z, a força puxa o dipolo na direção onde o produto p_z E é maior. Esse é um resultado simples e útil em exercícios: força longitudinal é momento vezes gradiente do módulo do campo.

Passo 8

Observações, limitações e dicas para prova (empatia e incentivo):
  • A dedução usa a aproximação de dipolo pequeno (expansão de Taylor até ordem linear). Se o dipolo não for pequeno comparado à escala de variação do campo, termos de ordem superior aparecem.
  • Se o dipolo for induzido pelo campo (isto é \mathbf{p} depende de \mathbf{E} e, portanto, da posição), então você precisa levar em conta a variação de \mathbf{p} também; aí a expressão fica mais complexa.
  • Se houver campos não eletrostáticos (dependência temporal ou campos magnéticos variáveis), não se pode usar \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} e atenção ao uso de identidades vetoriais.
  • Na prova: memória mnemônica fácil — “força do dipolo = momento projetado nas variações do campo”: \mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}. Guardando isso você resolve a maior parte das questões rápidas.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}(\mathbf{r})
\displaystyle \text{(para campo eletrostático: }\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}))\text{)}á

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