Um dipolo está inserido em um meio onde existe um campo elétrico uniforme e constante no tempo E. Suponha que o dipolo fique alinhado paralelamente com o campo elétrico. Mostre que o dipolo é envolvido por uma superfície equipotencial esférica de raio
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Há um dipolo elétrico localizado na origem; seu momento dipolar tem magnitude
e está alinhado paralelamente ao campo externo. - Existe um campo elétrico uniforme e constante no tempo de módulo
; ele está na mesma direção do dipolo (ou seja, ambos ao longo do mesmo eixo). - A pergunta: mostrar que existe uma superfície equipotencial esférica centrada na origem com raio
Informações relevantes listadas:
- Momento de dipolo:
(vetor, aqui alinhado ao eixo ). - Campo externo uniforme:
com módulo , direção (escolhemos esse eixo). - Constante dielétrica do vácuo:
. - Precisamos considerar o potencial total (dipolo + campo uniforme) e achar a superfície onde esse potencial é o mesmo para todos os pontos dessa superfície; mostrar que existe uma esfera com o raio indicado que é tal superfície equipotencial.
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas com o dipolo na origem e o eixo
apontando na mesma direção do campo
. Em coordenadas esféricas um ponto tem distância
à origem e ângulo polar
medido desde o eixo
; então a coordenada
vale
.
Agora escrevo o potencial do campo uniforme. Lembre que o campo elétrico e o potencial estão relacionados por
Para um campo uniforme
(constante), uma escolha de potencial que gera esse campo é
onde
é uma constante aditiva (potencial é definido até uma constante). Aqui vou escolher
para simplificar; isso não muda a existência da superfície equipotencial, só fixa a referência de potencial.
Expliquei:
é linear em
porque derivando em
obtemos
, que é consistente com
constante.
Passo 3
Agora o potencial do dipolo. Para um dipolo pontual colocado na origem e orientado ao longo do eixo
(momento dipolar
), a expressão do potencial no regime de campo distante (ou para o modelo de dipolo ideal) é
Breve justificativa (intuição): se você tem duas cargas
e
separadas por uma pequena distância
ao longo do eixo
, com
, o potencial combinado a distâncias
pode ser expandido em série de potências de
e, ao reter o primeiro termo não nulo, obtém-se exatamente a forma
. Essa é a forma padrão do potencial de um dipolo ideal.
Expliquei o significado de cada símbolo:
-
é a magnitude do momento dipolar, -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância ao centro, -
é o ângulo entre (ou ) e a direção do ponto considerado, -
.
Passo 4
Escrevo o potencial total como soma das contribuições:
Substituindo as expressões das etapas anteriores (e tomando a constante
),
Fatorando
, obtemos
Esse fator
mostra que, para um
fixo, o potencial depende em geral de
— exceto em casos especiais em que o parêntese anula.
Passo 5
Queremos uma superfície equipotencial esférica centrada na origem: isso significa encontrar um valor de
tal que
seja o mesmo para todo
. Observando a expressão da etapa anterior, a dependência angular é multiplicativa por
. A maneira mais simples de tornar
independente de
(para esse valor fixo de
) é fazer com que o parêntese entre parênteses seja zero, porque então
para todo
. Assim os pontos com esse raio
formam uma superfície onde o potencial é constantemente igual a zero — uma superfície equipotencial. (Observação: escolher
constante diferente de zero exigiria ajustar a constante aditiva do potencial externo; aqui tomamos
e encontramos a superfície em que
.)
Portanto imponho
Passo 6
Resolvendo a equação do passo anterior para
:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
,
Tirando a raiz cúbica,
Isso mostra que existe, de fato, uma esfera centrada na origem cujo raio é o dado, e que essa esfera é equipotencial (o potencial total vale zero em toda ela).