Um dipolo está inserido em um meio onde existe um campo elétrico uniforme e constante no tempo E. Suponha que o dipolo fique alinhado paralelamente com o campo elétrico. Mostre que o dipolo é envolvido por uma superfície equipotencial esférica de raio r=\left(\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} E}\right)^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Há um dipolo elétrico localizado na origem; seu momento dipolar tem magnitude p e está alinhado paralelamente ao campo externo.
  • Existe um campo elétrico uniforme e constante no tempo de módulo E; ele está na mesma direção do dipolo (ou seja, ambos ao longo do mesmo eixo).
  • A pergunta: mostrar que existe uma superfície equipotencial esférica centrada na origem com raio
r=\left(\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}E}\right)^{1/3}.
Informações relevantes listadas:
  • Momento de dipolo: p (vetor, aqui alinhado ao eixo z).
  • Campo externo uniforme: \mathbf{E} com módulo E, direção +z (escolhemos esse eixo).
  • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_{0}.
  • Precisamos considerar o potencial total (dipolo + campo uniforme) e achar a superfície onde esse potencial é o mesmo para todos os pontos dessa superfície; mostrar que existe uma esfera com o raio indicado que é tal superfície equipotencial.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas com o dipolo na origem e o eixo z apontando na mesma direção do campo \mathbf{E}. Em coordenadas esféricas um ponto tem distância r à origem e ângulo polar \theta medido desde o eixo z; então a coordenada z vale z=r\cos\theta.
Agora escrevo o potencial do campo uniforme. Lembre que o campo elétrico e o potencial estão relacionados por
\mathbf{E}=-\nabla V.
Para um campo uniforme \mathbf{E}=E\,\hat{\mathbf{z}} (constante), uma escolha de potencial que gera esse campo é
V_{\text{ext}}(r,\theta) = -E z + C = -E r\cos\theta + C,
onde C é uma constante aditiva (potencial é definido até uma constante). Aqui vou escolher C=0 para simplificar; isso não muda a existência da superfície equipotencial, só fixa a referência de potencial.
Expliquei: V_{\text{ext}} é linear em z porque derivando em z obtemos -\partial V/\partial z = E, que é consistente com \mathbf{E} constante.

Passo 3

Agora o potencial do dipolo. Para um dipolo pontual colocado na origem e orientado ao longo do eixo z (momento dipolar \mathbf{p}=p\,\hat{\mathbf{z}}), a expressão do potencial no regime de campo distante (ou para o modelo de dipolo ideal) é
V_{\text{dip}}(r,\theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Breve justificativa (intuição): se você tem duas cargas +q e -q separadas por uma pequena distância a ao longo do eixo z, com p=q a, o potencial combinado a distâncias r\gg a pode ser expandido em série de potências de a/r e, ao reter o primeiro termo não nulo, obtém-se exatamente a forma \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{p\cos\theta}{r^2}. Essa é a forma padrão do potencial de um dipolo ideal.
Expliquei o significado de cada símbolo:
  • p é a magnitude do momento dipolar,
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo,
  • r é a distância ao centro,
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{p} (ou \mathbf{E}) e a direção do ponto considerado,
  • \cos\theta=\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{r}}.

Passo 4

Escrevo o potencial total como soma das contribuições:
V_{\text{tot}}(r,\theta)=V_{\text{dip}}(r,\theta)+V_{\text{ext}}(r,\theta).
Substituindo as expressões das etapas anteriores (e tomando a constante C=0),
V_{\text{tot}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}-E r\cos\theta.
Fatorando \cos\theta, obtemos
V_{\text{tot}}(r,\theta)=\cos\theta\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p}{r^{2}}-E r\right).
Esse fator \cos\theta mostra que, para um r fixo, o potencial depende em geral de \theta — exceto em casos especiais em que o parêntese anula.

Passo 5

Queremos uma superfície equipotencial esférica centrada na origem: isso significa encontrar um valor de r tal que V_{\text{tot}}(r,\theta) seja o mesmo para todo \theta. Observando a expressão da etapa anterior, a dependência angular é multiplicativa por \cos\theta. A maneira mais simples de tornar V_{\text{tot}} independente de \theta (para esse valor fixo de r) é fazer com que o parêntese entre parênteses seja zero, porque então
V_{\text{tot}}(r,\theta)=\cos\theta\cdot 0 = 0
para todo \theta. Assim os pontos com esse raio r formam uma superfície onde o potencial é constantemente igual a zero — uma superfície equipotencial. (Observação: escolher V_{\text{tot}}= constante diferente de zero exigiria ajustar a constante aditiva do potencial externo; aqui tomamos C=0 e encontramos a superfície em que V_{\text{tot}}=0.)
Portanto imponho
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p}{r^{2}}-E r=0.

Passo 6

Resolvendo a equação do passo anterior para r:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p}{r^{2}} = E r.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} e isolando r^{3},
\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}} = E r^{3} \quad\Longrightarrow\quad r^{3} = \frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}E}.
Tirando a raiz cúbica,
r=\left(\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}E}\right)^{1/3}.
Isso mostra que existe, de fato, uma esfera centrada na origem cujo raio é o dado, e que essa esfera é equipotencial (o potencial total vale zero em toda ela).

Resposta

r=\left(\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}E}\right)^{1/3}

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