Considere metade de uma esfera que tem uma densidade de carga superficial uniforme
. Calcule o momento de dipolo desta distribuição (
) relativa à origem do centro de curvatura.
Passo 1
O enunciado dá uma metade de uma esfera (uma casca esférica, ou seja, a superfície curva de uma esfera) de raio
com densidade superficial de carga uniforme
. Pede-se calcular o momento de dipolo
relativo à origem colocada no centro de curvatura (ou seja, o centro da esfera). Vou assumir a metade superior (hemisfério com
); se for a metade inferior o resultado terá sinal invertido. Informações relevantes fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Densidade superficial uniforme:
. - Região de integração: superfície curva do hemisfério (não inclui a base plana).
- Ponto de referência (origem): centro da esfera.
Passo 2
O que é o momento de dipolo aqui e como vamos integrá-lo.
O momento de dipolo para uma distribuição de carga superficial é dado por
onde
é o vetor posição de cada elemento de área
medido a partir da origem. Para uma superfície esférica de raio
é natural usar coordenadas esféricas (ângulos) fixando
constante na superfície curva. Em coordenadas esféricas usamos o ângulo polar
(medido a partir do eixo
) e o azimute
. O vetor posição do ponto na superfície vale
A área elementar da superfície esférica é
Os limites para o hemisfério superior são
e
.
Passo 3
Usando simetria para simplificar: por que
.
A distribuição tem densidade
uniforme e é simétrica em
. Para cada elemento em
existe um elemento com mesmo
e
que tem componentes
opostas. Assim as contribuições em
e
se cancelam quando integradas sobre
de
a
. Portanto
e só precisamos calcular a componente
.
Passo 4
Montando a integral para
.
A componente
do vetor posição é
. Assim a componente
do momento de dipolo é
Substituindo
e os limites do hemisfério:
Passo 5
Calculando a integral passo a passo.
Primeiro fatorizamos constantes:
A integral em
dá
. Para a integral em
usamos a substituição óbvia ou a identidade
, mas aqui faço direto:
Portanto
Passo 6
Escrevendo o resultado vetorial e fazendo uma checagem rápida.
Como apenas a componente
é não nula, o momento de dipolo é
Uma checagem: a carga total do hemisfério é
Se escrevermos
então a coordenada
do centro de carga seria
que coincide com o valor conhecido do centróide da superfície esférica do hemisfério (
). Isso confirma o resultado.