Considere metade de uma esfera que tem uma densidade de carga superficial uniforme \sigma. Calcule o momento de dipolo desta distribuição ( \vec{p}=\int \vec{r}^{\prime} \sigma d A ) relativa à origem do centro de curvatura.

Passo 1

O enunciado dá uma metade de uma esfera (uma casca esférica, ou seja, a superfície curva de uma esfera) de raio R com densidade superficial de carga uniforme \sigma. Pede-se calcular o momento de dipolo
\vec{p}=\int \vec{r}^{\prime}\,\sigma\,dA
relativo à origem colocada no centro de curvatura (ou seja, o centro da esfera). Vou assumir a metade superior (hemisfério com z\ge 0); se for a metade inferior o resultado terá sinal invertido. Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da esfera: R.
  • Densidade superficial uniforme: \sigma.
  • Região de integração: superfície curva do hemisfério (não inclui a base plana).
  • Ponto de referência (origem): centro da esfera.

Passo 2

O que é o momento de dipolo aqui e como vamos integrá-lo.
O momento de dipolo para uma distribuição de carga superficial é dado por
\vec{p}=\int \vec{r}^{\prime}\,\sigma\,dA,
onde \vec{r}^{\prime} é o vetor posição de cada elemento de área dA medido a partir da origem. Para uma superfície esférica de raio R é natural usar coordenadas esféricas (ângulos) fixando r'=R constante na superfície curva. Em coordenadas esféricas usamos o ângulo polar \theta (medido a partir do eixo +z) e o azimute \varphi. O vetor posição do ponto na superfície vale
\vec{r}^{\prime}=R\hat{r}=R(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{y}+\cos\theta\,\hat{z}).
A área elementar da superfície esférica é
dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Os limites para o hemisfério superior são \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \varphi\in[0,2\pi].

Passo 3

Usando simetria para simplificar: por que p_x=p_y=0.
A distribuição tem densidade \sigma uniforme e é simétrica em \varphi. Para cada elemento em (\theta,\varphi) existe um elemento com mesmo \theta e \varphi+\pi que tem componentes x,y opostas. Assim as contribuições em x e y se cancelam quando integradas sobre \varphi de 0 a 2\pi. Portanto
p_x=0,\qquad p_y=0,
e só precisamos calcular a componente p_z.

Passo 4

Montando a integral para p_z.
A componente z do vetor posição é z=R\cos\theta. Assim a componente z do momento de dipolo é
p_z=\int (R\cos\theta)\,\sigma\,dA.
Substituindo dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e os limites do hemisfério:
p_z=\sigma\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} R\cos\theta \cdot R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Calculando a integral passo a passo.
Primeiro fatorizamos constantes:
p_z=\sigma R^{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
A integral em \varphi 2\pi. Para a integral em \theta usamos a substituição óbvia ou a identidade \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), mas aqui faço direto:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}2\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d(\sin^{2}\theta)}{d\theta}\,d\theta=\frac{1}{2}\big[\sin^{2}\theta\big]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.
Portanto
p_z=\sigma R^{3}\cdot(2\pi)\cdot\frac{1}{2}=\pi\sigma R^{3}.

Passo 6

Escrevendo o resultado vetorial e fazendo uma checagem rápida.
Como apenas a componente z é não nula, o momento de dipolo é
\vec{p}=p_z\,\hat{z}=\pi\sigma R^{3}\,\hat{z}.
Uma checagem: a carga total do hemisfério é
Q=\sigma\times\text{área do hemisfério}=\sigma(2\pi R^{2})=2\pi\sigma R^{2}.áé
Se escrevermos \vec{p}=Q\,\vec{r}_{\text{centro-de-carga}} então a coordenada z do centro de carga seria
z_{\text{cm}}=\frac{p_z}{Q}=\frac{\pi\sigma R^{3}}{2\pi\sigma R^{2}}=\frac{R}{2},
que coincide com o valor conhecido do centróide da superfície esférica do hemisfério ( z=R/2). Isso confirma o resultado.

Resposta

\displaystyle \vec{p}=\pi\,\sigma\,R^{3}\,\hat{z}

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