Considere um disco de raio R cuja massa está distribuída segundo uma densidade superficial variando radialmente como
sigma(r)=sigma0r
Determine o momento de inércia do disco em relação ao eixo perpendicular ao disco passando pelo seu centro. Expresse o resultado em termos da massa M e do raio R.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos: é um disco de raio sigma(r)=sigma0r cuja densidade superficial varia com o raio como
A parada é calcular o momento de inércia desse disco em relação ao eixo que sai perpendicular ao plano do disco e passa pelo centro.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de momento de inércia .
  • Como expressar em termos de densidade superficial e elemento de área em coordenadas polares: .
  • Relação entre massa total e : .

Passo 2

Primeiro a gente encontra M=integral0^Rdm=integral0^Rsigma(r),2pi r,dr =integral0^Rsigma0r,2pi r,dr =2pisigma0integral0^Rdr =2pisigma0,R em função de sigma0=M2pi R e .
Massinha total:
Então

Passo 3

Agora monta o integral do momento de inércia:
I=integral r^2,dm =integral0^Rr^2l[sigma(r),2pi r,drr] =integral0^Rr^2sigma0r,2pi r,dr =2pisigma0integral0^Rr^2,dr
E a integral de integral0^Rr^2,dr=R^33 é fácil:
I=2pisigma0cdotR^33
Então

Passo 4

Basta substituir I=2pi!(M2pi R)R^33 =MR,R^33 =M,R^23 :

Resposta

boxedI = 13,M,R^2

Exercícios relacionados