Considere um disco de raio
cuja massa está distribuída segundo uma densidade superficial variando radialmente como
Determine o momento de inércia do disco em relação ao eixo perpendicular ao disco passando pelo seu centro. Expresse o resultado em termos da massa
e do raio
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos: é um disco de raio
cuja densidade superficial varia com o raio como
A parada é calcular o momento de inércia
desse disco em relação ao eixo que sai perpendicular ao plano do disco e passa pelo centro.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de momento de inércia
. - Como expressar
em termos de densidade superficial e elemento de área em coordenadas polares: . - Relação entre massa total
e : .
Passo 2
Primeiro a gente encontra
em função de
e
.
Massinha total:
Massinha total:
Então
Passo 3
Agora monta o integral do momento de inércia:
E a integral de
é fácil:
Então
Passo 4
Basta substituir
: