Considere um dispositivo formado por um bloco de massa atado a uma mola cuja constante vale e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de de argila, que se movimenta a , resultando em um movimento descrito por . Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa M preso a uma mola de constante elástica k=20 N/m, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio. Uma bola de argila de massa m=0,04 kg colide e gruda no bloco com velocidade vb=60 m/s, passando o sistema a oscilar. A equação do movimento fornecida é
2,d^2xdt^2 + dxdt + 20,x = 0,
que representa um oscilador harmonicamente amortecido. Vamos encontrar a solução x(t) usando teoria de amortecimento viscoso.

Passo 2

Identificamos os parâmetros do sistema no formato padrão
meq,ddot x + c,dot x + k,x = 0
Comparando com 2ddot x + 1dot x + 20x=0, temos
meq = 2 kg, c = 1 N,s/m, k = 20 N/m

Passo 3

Calculamos o coeficiente de amortecimento alpha e a frequência natural omega0:
alpha = c2,meq = 12cdot2 = 0,25 s^-1, omega0 = raizkmeq = raiz202 = raiz10approx3,162 s^-1

Passo 4

Como alpha<omega0, o regime é subamortecido e a frequência amortecida é
omegad = raizomega0^2-alpha^2 = raiz10 - 0,25^2 = raiz9,9375approx3,15 s^-1

Passo 5

Determinamos as condições iniciais imediatamente após o choque. No instante t=0 a mola está em x=0, então
x(0)=0
A velocidade inicial do conjunto mass a+mola é dada pelo princípio da conservação do momento (choque inelástico):
dot x(0) = v0 = m,vbmeq = 0,04cdot602 =1,2 m/s

Passo 6

A solução geral do oscilador subamortecido é
x(t) = e^-alpha tl(C1cos(omegadt)+C2sin(omegadt)r)
Aplicando x(0)=0 C1=0. Diferenciando e impondo dot x(0)=1,2 obtém-se
dot x(0)=C2,omegad=1,2 Longrightarrow C2=1,23,15approx0,38

Passo 7

Substituindo C1=0 e C2=0,38 na solução geral, temos
x(t)=0,38,e^-0,25,t,sinl(3,15,tr)

Resposta

x(t)=0,38,e^-0,25,t,senl(3,15,tr)

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