Considere a dissolução de CO2 numa solução alcalina contendo um catalisador. A solução encontra-se numa proveta de altura L=0,5 cm. O CO2 2 absorvido reage irreversivelmente de acordo com uma lei de 1^ a ordem com k=35 s^-1. A solubilidade do CO2 na solução é igual a 3 times 10^-2 kmol m^-3 e o coeficiente de difusão é igual a 1,5 x 10^-9 m^2 s^-1.
a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de CO2 através da solução em estado estacionário.
b) O perfil de concentrações de CO2 na proveta é dado pela equação:
CACA 0=cosh [L raizk1 / DA B(1-z / L)]cosh [L raizk1 / DA B]
Demonstre que esta equação satisfaz a equação diferencial obtida em a).
c) Calcule a taxa de dissolução de CO2 e a sua concentração média na solução.

Passo 1

O enunciado trata de transporte unidimensional de CO2 em estado estacionário numa solução de altura L=0,5 cm com reação irreversível de primeira ordem ( k1=35 s^-1). Precisamos escrever a equação de balanço difusivo com termo de reação, as condições de contorno, depois verificar que o perfil
CA(z)CA0 =coshl[Lraizk1/DAB,(1-z/L)r]% coshl[Lraizk1/DABr]
satisfaz essa equação, e por fim calcular o fluxo de dissolução e a concentração média na solução.

Passo 2

No regime estacionário, o balanço de massa num elemento de espessura dz
DABd^2CAdz^2-k1,CA=0
As condições de contorno são
CA(0)=CA0(solubilidade no topo),
dCAdz|z=L=0(parede impermeável em z=L) á

Passo 3

Defina
a=raizk1DAB, Phi(z)=coshl[a,(L-z)r]
Então
CA(z)=CA0,Phi(z)Phi(0) Longrightarrow dCAdz =-CA0,a,sinh[a,(L-z)]Phi(0),
d^2CAdz^2 =-CA0,a^2,cosh[a,(L-z)]Phi(0) =-a^2,CA(z)
Substituindo em DABC''A-k1CA obtemos
DAB(-a^2,CA)-k1,CA =-l(DABa^2+k1r)CA=0
pois a^2=k1/DAB. Verificamos também que CA(0)=CA0 e, em z=L, sinh[,a,(L-L),]=0 implica C'A(L)=0.

Passo 4

A taxa de dissolução por unidade de área é o fluxo no topo:
NA=-DABdCAdz|z=0 =DAB,CA0;a;tanh(aL)
Com DAB=1,5times10^-9 m^2/s, k1=35 s^-1, CA0=3times10^-2 kmol/m^3 e L=0,005 m, tem-se
a=raiz351,5times10^-9approx1,53times10^5 m^-1, aLapprox764,5Rightarrowtanh(aL)approx1,
então
NAapprox1,5times10^-9times1,53times10^5times3times10^-2 approx6,9times10^-6 kmol/(m^2,s)

Passo 5

A concentração média é
bar C =1Lintegral0^LCA(z),dz =CA0L,Phi(0) integral0^Lcoshl[a,(L-z)r]dz =CA0aL,tanh(aL)
Para aLgg1, tanh(aL)approx1, logo
bar CapproxCA0aL =3times10^-2764,5 approx3,9times10^-5 kmol/m^3

Resposta

Taxa de dissolução NAapprox6,9times10^-6 kmol/(m^2,s)
Concentração média bar Capprox3,9times10^-5 kmol/m^3

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