Verifique que o divergente de E(x)=varepsilon Q|x|^3 x, onde x in R^3, é nulo. Aqui varepsilon e Q são constantes.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
E(x)=varepsilon,Q|x|^3;x
em R^3 (exceto na origem) e pede para mostrar que o divergente nablacdotE é zero. Vamos usar a definição de divergente em coordenadas cartesianas:
nablacdotE =sumi=1^3partial Eipartial xi

Passo 2

Denominamos r=|x| e escrevemos as componentes de E como
Ei(x) =varepsilon,Qr^3,xi

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para cada termo partial Ei/partial xi:
partial Eipartial xi =varepsilon,Q;partialpartial xi!l(xi,r^-3r) =varepsilon,Ql( underbracepartial xipartial xi=1,r^-3 +xi,partial (r^-3)partial xi r)

Passo 4

Somando sobre i o primeiro termo dá
sumi=1^3 1cdot r^-3=3,r^-3

Passo 5

Agora calculamos partial (r^-3)/partial xi. Sabendo que partial r/partial xi=xi/r, tem-se
partial (r^-3)partial xi =-3,r^-4,partial rpartial xi =-3,r^-4,xir =-3,xi,r^-5
Logo o segundo termo, somado em i, é
sumi=1^3 xil(-3,xi,r^-5r) =-3,r^-5sumi=1^3 xi^2 =-3,r^-5,r^2 =-3,r^-3

Passo 6

Juntando os dois resultados dentro da soma do divergente temos
nablacdotE =varepsilon,Ql(3,r^-3-3,r^-3r) =0

Resposta

O divergente de E é nulo, ou seja,
nablacdotE=0(para xneq0)

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