• Considere que a distribuição de concentração de benzeno - produto químico que se acredita ser danoso para os seres humanos - em uma especificada marca de charuto seja aproximadamente normal com média desconhecida e desvio padrão desconhecido.
  • Sabemos que a concentração média de benzeno em uma marca de cigarros usada como padrão é 81 mg / g de tabaco e gostaríamos de saber se a concentração média de benzeno nos charutos é igual à dos cigarros.
  • Uma amostra aleatória de sete charutos tem concentração média de benzeno de 151 mg / g e desvio padrão 9 mg / g.
  • Verifique a alegação, considerando um nível de significância de 5 %, pelos seguintes métodos:
  • Método Tradicional

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a concentração de benzeno nos charutos é aprox. normal, média e desvio padrão desconhecidos. Queremos testar se a média desses charutos é igual a 81 mg/g (que é a média dos cigarros padrão). Pegamos uma amostra de 7 charutos, com média bar x = 151,mg/g e desvio padrão s = 9,mg/g. Nível de significância alpha = 5%.
Conteúdo: teste de hipótese para média com distribuição t de Student (quando sigma é desconhecido). Vamos precisar:
  • Formular hipóteses nula e alternativa
  • Estatística de teste t = dfracbar x - mu0s/raizn
  • Graus de liberdade n-1
  • Valor crítico de t para alpha/2 e df = 6

Passo 2

Definindo as hipóteses (teste bilateral):
H₀: mu = 81 (média dos charutos é igual a dos cigarros)
H₁: mu neq 81 (média é diferente)
Como não sabemos sigma, usamos a distribuição t de Student com n-1 = 6 graus de liberdade. A estatística de teste é
t = bar x - mu0s / raizn

Passo 3

Vamos calcular o t observado:
bar x = 151, mu0 = 81, s=9, n=7.
trm obs = 151 - 819/raiz7 = 709 / 2,6458 = 703,400 approx 20,59
Explicando: dividimos a diferença entre a média amostral e a média sob H₀ pelo erro padrão s/raizn.

Passo 4

Agora, o valor crítico para teste bilateral com alpha=0,05 e df = 6:
t0,025,,6 approx 2,447.
Região crítica: rejeitar H₀ se |trm obs| > 2,447.

Passo 5

Como |20,59| gg 2,447, caímos na região de rejeição. Ou seja, a probabilidade de observar algo tão extremo quanto t=20,59 sob H₀ é praticamente zero (bem menor que 5%).

Resposta

Rejeitamos H₀ ao nível de 5%. Concluímos que a média de concentração de benzeno nos charutos é estatisticamente diferente de 81 mg/g (e, de fato, muito maior).

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