Considere a distribuição conjunta de X e Y dada na tabela a seguir:
Y \backslash X 0 1 2 p(y)
1 \frac{3}{20} \frac{3}{20} \frac{2}{20} \frac{8}{20}
2 \frac{1}{20} \frac{1}{20} \frac{2}{20} \frac{4}{20}
3 \frac{4}{20} \frac{1}{20} \frac{3}{20} \frac{8}{20}
p(x) \frac{8}{20} \frac{5}{20} \frac{7}{20} 1,00
Calcule a E(X), \operatorname{Var}(X), E(Y), \operatorname{Var}(Y), \operatorname{Cov}(X, Y) e \rho(X, Y).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição conjunta discreta de X e Y na tabela a seguir (estou pegando os valores diretamente da tabela fornecida):
\begin{array}{c|ccc|c} Y\backslash X & 0 & 1 & 2 & p(y)\\hline 1 & \dfrac{3}{20} & \dfrac{3}{20} & \dfrac{2}{20} & \dfrac{8}{20}\\[4pt] 2 & \dfrac{1}{20} & \dfrac{1}{20} & \dfrac{2}{20} & \dfrac{4}{20}\\[4pt] 3 & \dfrac{4}{20} & \dfrac{1}{20} & \dfrac{3}{20} & \dfrac{8}{20}\\hline p(x) & \dfrac{8}{20} & \dfrac{5}{20} & \dfrac{7}{20} & 1{,}00 \end{array}
O que se pede: calcular
E(X),\\ \operatorname{Var}(X),\\ E(Y),\\ \operatorname{Var}(Y),\\ \operatorname{Cov}(X,Y)\\ \text{e}\\ \rho(X,Y).
Vou resolver passo a passo mostrando as fórmulas, o raciocínio e as contas detalhadas para você poder reproduzir na prova.]

Passo 2

Cálculo de E(X). Primeiro, a definição e a ideia: a esperança (valor esperado) de uma variável discreta X é a média ponderada dos valores possíveis de X, com pesos dados pelas probabilidades p_X(x). A fórmula é
E(X)=\sum_x x\,p_X(x),
onde p_X(x) é a probabilidade marginal de X. Usando os p(x) da tabela (peguei-os da última linha da tabela):
p_X(0)=\dfrac{8}{20},\quad p_X(1)=\dfrac{5}{20},\quad p_X(2)=\dfrac{7}{20}.
Agora aplico a fórmula:
E(X)=0\cdot\dfrac{8}{20}+1\cdot\dfrac{5}{20}+2\cdot\dfrac{7}{20} =\dfrac{5+14}{20}=\dfrac{19}{20}.
Posso também dar o valor decimal: \dfrac{19}{20}=0{,}95.

Passo 3

Cálculo de \operatorname{Var}(X). Conceito e fórmula: a variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,
onde
E(X^2)=\sum_x x^2 p_X(x).
Calculo E(X^2) usando os mesmos p_X(x):
E(X^2)=0^2\cdot\dfrac{8}{20}+1^2\cdot\dfrac{5}{20}+2^2\cdot\dfrac{7}{20} =\dfrac{5+28}{20}=\dfrac{33}{20}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{33}{20}-\left(\dfrac{19}{20}\right)^2 =\dfrac{33}{20}-\dfrac{361}{400}.
Colocando no mesmo denominador:
\dfrac{33}{20}=\dfrac{660}{400},\quad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{660-361}{400}=\dfrac{299}{400}.
Decimal: \dfrac{299}{400}=0{,}7475.

Passo 4

Cálculo de E(Y). Mesma ideia de esperança, agora para Y. A tabela fornece as probabilidades marginais p_Y(y) na última coluna:
p_Y(1)=\dfrac{8}{20},\quad p_Y(2)=\dfrac{4}{20},\quad p_Y(3)=\dfrac{8}{20}.
Aplico
E(Y)=\sum_y y\,p_Y(y)=1\cdot\dfrac{8}{20}+2\cdot\dfrac{4}{20}+3\cdot\dfrac{8}{20} =\dfrac{8+8+24}{20}=\dfrac{40}{20}=2.

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Var}(Y). Primeiro E(Y^2):
E(Y^2)=1^2\cdot\dfrac{8}{20}+2^2\cdot\dfrac{4}{20}+3^2\cdot\dfrac{8}{20} =\dfrac{8+16+72}{20}=\dfrac{96}{20}=\dfrac{24}{5}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\dfrac{96}{20}-2^2=\dfrac{96}{20}-4=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}.
Decimal: \dfrac{4}{5}=0{,}8.

Passo 6

Cálculo de \operatorname{Cov}(X,Y). Definição e ideia: a covariância mede como X e Y variam juntas. A fórmula é
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),
onde
E(XY)=\sum_{x}\sum_{y} x y\,p(x,y).
Vou calcular E(XY) somando cada entrada da tabela (aqui usei os valores da tabela para p(x,y)):
  • Para Y=1: contribuições
    0\cdot1\cdot\dfrac{3}{20}=0,\quad 1\cdot1\cdot\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{20},\quad 2\cdot1\cdot\dfrac{2}{20}=\dfrac{4}{20}.
    Soma da linha Y=1: \dfrac{7}{20}.
  • Para Y=2: contribuições
    0\cdot2\cdot\dfrac{1}{20}=0,\quad 1\cdot2\cdot\dfrac{1}{20}=\dfrac{2}{20},\quad 2\cdot2\cdot\dfrac{2}{20}=\dfrac{8}{20}.
    Soma da linha Y=2: \dfrac{10}{20}.
  • Para Y=3: contribuições
    0\cdot3\cdot\dfrac{4}{20}=0,\quad 1\cdot3\cdot\dfrac{1}{20}=\dfrac{3}{20},\quad 2\cdot3\cdot\dfrac{3}{20}=\dfrac{18}{20}.
    Soma da linha Y=3: \dfrac{21}{20}.
Somando todas as linhas:
E(XY)=\dfrac{7+10+21}{20}=\dfrac{38}{20}=\dfrac{19}{10}.
Já calculamos antes E(X)=\dfrac{19}{20} e E(Y)=2, logo
E(X)E(Y)=\dfrac{19}{20}\cdot 2=\dfrac{38}{20}=\dfrac{19}{10}.
Portanto
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\dfrac{19}{10}-\dfrac{19}{10}=0.
Interpretação curta (útil na prova): covariância zero significa que X e Y são não correlacionados; não implica automaticamente independência, mas aqui apenas anotamos que \operatorname{Cov}(X,Y)=0.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de correlação \rho(X,Y). Definição:
\rho(X,Y)=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}.
Como \operatorname{Cov}(X,Y)=0, segue imediatamente que
\rho(X,Y)=0.
Mesmo sem calcular a raiz do produto das variâncias, como numerador é zero o coeficiente de correlação é zero.

Resposta

E(X)=\dfrac{19}{20}\n
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{299}{400}\n
E(Y)=2\n
\operatorname{Var}(Y)=\dfrac{4}{5}\n
\operatorname{Cov}(X,Y)=0\n
\rho(X,Y)=0

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