Considere a distribuição conjunta de X e Y dada na tabela a seguir:
0
1
2
1
2
3
1,00
Calcule a
e
.
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0 | 1 | 2 |
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| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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1,00 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição conjunta discreta de
e
na tabela a seguir (estou pegando os valores diretamente da tabela fornecida):
O que se pede: calcular
Vou resolver passo a passo mostrando as fórmulas, o raciocínio e as contas detalhadas para você poder reproduzir na prova.]
Passo 2
Cálculo de
. Primeiro, a definição e a ideia: a esperança (valor esperado) de uma variável discreta
é a média ponderada dos valores possíveis de
, com pesos dados pelas probabilidades
. A fórmula é
onde
é a probabilidade marginal de
. Usando os
da tabela (peguei-os da última linha da tabela):
Agora aplico a fórmula:
Posso também dar o valor decimal:
.
Passo 3
Cálculo de
. Conceito e fórmula: a variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
onde
Calculo
usando os mesmos
:
Agora a variância:
Colocando no mesmo denominador:
Decimal:
.
Passo 4
Cálculo de
. Mesma ideia de esperança, agora para
. A tabela fornece as probabilidades marginais
na última coluna:
Aplico
Passo 5
Cálculo de
. Primeiro
:
Agora a variância:
Decimal:
.
Passo 6
Cálculo de
. Definição e ideia: a covariância mede como
e
variam juntas. A fórmula é
onde
Vou calcular
somando cada entrada da tabela (aqui usei os valores da tabela para
):
-
Para
: contribuições Soma da linha: . -
Para
: contribuições Soma da linha: . -
Para
: contribuições Soma da linha: .
Somando todas as linhas:
Já calculamos antes
e
, logo
Portanto
Interpretação curta (útil na prova): covariância zero significa que
e
são não correlacionados; não implica automaticamente independência, mas aqui apenas anotamos que
.
Passo 7
Cálculo do coeficiente de correlação
. Definição:
Como
, segue imediatamente que
Mesmo sem calcular a raiz do produto das variâncias, como numerador é zero o coeficiente de correlação é zero.