Suponha que o número de defeitos de uma máquina seja seguindo uma distribuição de Poisson \operatorname{com} \lambda=2. Então, qual será probabilidade desta máquina não apresentar defeitos? Apresentar mais de 3 defeitos?

Passo 1

O enunciado dá que o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=2. As perguntas são: (a) qual a probabilidade de a máquina não apresentar defeitos? e (b) qual a probabilidade de a máquina apresentar mais de 3 defeitos? Listei as informações relevantes: \lambda=2 e queremos P(X=0) e P(X>3), onde X é a variável aleatória que conta defeitos.

Passo 2

Apresentando a fórmula da Poisson (aula rápida e amigável). A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de ocorrências (aqui, defeitos);
  • \lambda é a média (e também a variância) esperada de ocorrências no intervalo considerado;
  • k é um inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6; por convenção 0!=1).
Dica prática: para calcular probabilidades com Poisson, ou usamos diretamente P(X=k) para um k específico, ou somamos vários P(X=k) quando queremos um intervalo, e quase sempre vale a pena usar o complemento quando for mais prático (por exemplo, P(X>3)=1-P(X\le3)).

Passo 3

Calculando a probabilidade de não haver defeitos, isto é P(X=0). Aplicando a fórmula com k=0 e \lambda=2:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}.
Agora simplifico cada parte: 2^{0}=1 e 0!=1. Logo
P(X=0)=e^{-2}\cdot 1=\;e^{-2}.
Para uma aproximação numérica, e^{-2}=\dfrac{1}{e^{2}}. Como e^{2}\approx 7,389056, temos
e^{-2}\approx 0,135335.

Passo 4

Agora calculo a probabilidade de mais de 3 defeitos, ou seja P(X>3). Uso o complemento porque é mais simples:
P(X>3)=1-P(X\le3)=1-\sum_{k=0}^{3}P(X=k).
Vou calcular \sum_{k=0}^{3}P(X=k) com \lambda=2. Para cada termo:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot1,
P(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot2,
P(X=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\frac{4}{2}=e^{-2}\cdot2,
P(X=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\frac{8}{6}=e^{-2}\cdot\frac{4}{3}.
Somando os quatro termos:
\sum_{k=0}^{3}P(X=k)=e^{-2}\left(1+2+2+\frac{4}{3}\right)=e^{-2}\left(\frac{19}{3}\right).
Portanto
P(X>3)=1-e^{-2}\frac{19}{3}.
Agora a aproximação numérica: já vimos e^{-2}\approx 0,135335. Multiplicando por \dfrac{19}{3}\approx 6,333333 obtemos
P(X\le3)\approx 0,857123,
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P(X>3)=1-0,857123\approx 0,142877.

Passo 5

Interpretação e dica de prova rápida: a probabilidade de nenhum defeito é exatamente \;e^{-2} (cerca de 0,1353), e a de ter mais que 3 defeitos é 1-\dfrac{19}{3}e^{-2} (cerca de 0,1429). Na prova, memorize a fórmula da Poisson e use o complemento quando for somar muitos termos forçar trabalhoso — aqui somamos poucos termos então foi tranquilo.

Resposta

P(X=0)=e^{-2}\approx 0,135335\n
P(X>3)=1-\dfrac{19}{3}e^{-2}\approx 0,142877

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