Suponha que o número de defeitos de uma máquina seja seguindo uma distribuição de Poisson
. Então, qual será probabilidade desta máquina não apresentar defeitos? Apresentar mais de 3 defeitos?
Passo 1
O enunciado dá que o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. As perguntas são: (a) qual a probabilidade de a máquina não apresentar defeitos? e (b) qual a probabilidade de a máquina apresentar mais de
defeitos? Listei as informações relevantes:
e queremos
e
, onde
é a variável aleatória que conta defeitos.
Passo 2
Apresentando a fórmula da Poisson (aula rápida e amigável). A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de ocorrências (aqui, defeitos); -
é a média (e também a variância) esperada de ocorrências no intervalo considerado; -
é um inteiro não negativo ( ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é o fatorial de (por exemplo, ; por convenção ).
Dica prática: para calcular probabilidades com Poisson, ou usamos diretamente
para um
específico, ou somamos vários
quando queremos um intervalo, e quase sempre vale a pena usar o complemento quando for mais prático (por exemplo,
).
Passo 3
Calculando a probabilidade de não haver defeitos, isto é
. Aplicando a fórmula com
e
:
Agora simplifico cada parte:
e
. Logo
Para uma aproximação numérica,
. Como
, temos
Passo 4
Agora calculo a probabilidade de mais de
defeitos, ou seja
. Uso o complemento porque é mais simples:
Vou calcular
com
. Para cada termo:
Somando os quatro termos:
Portanto
Agora a aproximação numérica: já vimos
. Multiplicando por
obtemos
logo
Passo 5
Interpretação e dica de prova rápida: a probabilidade de nenhum defeito é exatamente
(cerca de
), e a de ter mais que
defeitos é
(cerca de
). Na prova, memorize a fórmula da Poisson e use o complemento quando for somar muitos termos forçar trabalhoso — aqui somamos poucos termos então foi tranquilo.