Considere a distribuição conjunta de X e Y.
c|c|c|c hline$X mid Y$ & 1 & 2 & 3 hline 0 & 0,1 & 0,1 & 0,1 hline 1 & 0,2 & 0 & 0,3 hline 2 & 0 & 0,1 & 0,1 hline 1 2 3
0 0,1 0,1 0,1
1 0,2 0 0,3
2 0 0,1 0,1
a) Determine as distribuições marginais de X e Y.
b) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y.
c) Verique se X e Y são independentes.
d) Calcule P(X=1, Y=2) e P(Y=2 mid X=2).
e) Determine E(Y mid X=x) e E(X mid Y=1).

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição conjunta de X e Y em uma tabela discreta e pede:
a) as distribuições marginais de X e Y,
b) as esperanças e variâncias de X e Y,
c) verificar se X e Y são independentes,
d) calcular P(X=1,Y=2) e P(Y=2mid X=2),
e) determinar E(Ymid X=x) e E(Xmid Y=1).
Para isso usaremos soma de probabilidades para marginais, definição de esperança e variância, critério de produto de marginais para independência, e definição de probabilidade e esperança condicionais.

Passo 2

Cálculo das distribuições marginais:
pX(x)=sumy=1^3pX,Y(x,y), pY(y)=sumx=0^2pX,Y(x,y)
Para X:
pX(0)=0,1+0,1+0,1=0,3, pX(1)=0,2+0+0,3=0,5, pX(2)=0+0,1+0,1=0,2
Para Y:
pY(1)=0,1+0,2+0=0,3, pY(2)=0,1+0+0,1=0,2, pY(3)=0,1+0,3+0,1=0,5

Passo 3

Cálculo de , e , .
Para :
Para :

Passo 4

Verificação de independência: se fossem independentes, teríamos sempre
pX,Y(x,y)=pX(x),pY(y)
Por exemplo,
p(0,1)=0,1neq pX(0),pY(1)=0,3cdot0,3=0,09
Logo X e Y não são independentes.

Passo 5

Cálculo de probabilidades pedidas:
P(X=1,Y=2)=0
P(Y=2mid X=2)=p(2,2)pX(2)=0,10,2=0,5

Passo 6

Cálculo de ,E(Ymid X=x) para x=0,1,2 e de ,E(Xmid Y=1).
Para X=0, condicionalmente:
pYmid X(ymid0)=0,10,3=13(y=1,2,3),
E(Ymid X=0)=1+2+33=2
Para X=1:
pYmid X(1mid1)=0,20,5=0,4,; pYmid X(3mid1)=0,30,5=0,6,
E(Ymid X=1)=1cdot0,4+3cdot0,6=2,2
Para X=2:
pYmid X(2mid2)=pYmid X(3mid2)=0,5,
E(Ymid X=2)=2cdot0,5+3cdot0,5=2,5
Para Y=1, condicionalmente:
pXmid Y(0mid1)=0,10,3=13,; pXmid Y(1mid1)=0,20,3=23,
E(Xmid Y=1)=0cdot13+1cdot23=23approx0,667

Resposta

a)
b)
c) Não são independentes.
d)
e)

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