Considere a quádrica S: 2 x^2+y^2+z^2-4 x-6 y+9=0 e o plano pi: x=1.
(a) Encontre a equação reduzida da quádrica e identifique-a.
(b) Determine a interseção de S com pi.

Passo 1

O enunciado dá a quadric
S:;2x^2+y^2+z^2-4x-6y+9=0
e o plano pi: x=1. Vamos classificar S completando quadrados e depois achar a curva Scappi.

Passo 2

Complete o quadrado em x e y:
2x^2-4x =2l(x^2-2xr) =2l((x-1)^2-1r) =2(x-1)^2-2,
y^2-6y = (y-3)^2-9,
e z^2 já está pronto. Substituindo em S:
2(x-1)^2 -2 ;+;(y-3)^2 -9 ;+;z^2 ;+;9 ;=;0
Somando constantes -2-9+9=-2, fica
2(x-1)^2 + (y-3)^2 + z^2 -2 =0

Passo 3

Coloque em forma padrão dividindo por 2:
2(x-1)^2 + (y-3)^2 + z^2 =2 Longrightarrow (x-1)^21 + (y-3)^22 + z^22 =1
Como todos os coeficientes são positivos, S é um elipsoide centrado em (1,3,0) com semi-eixos 1,raiz2,raiz2.

Passo 4

Na interseção com pi:x=1 basta pôr x=1 em S:
2cdot1^2+y^2+z^2-4cdot1-6y+9=0 ;Longrightarrow; y^2-6y+z^2+7=0
Complete o quadrado em y:
(y-3)^2-9 + z^2 +7=0 ;Longrightarrow; (y-3)^2+z^2=2
É um círculo de raio raiz2 em x=1, centrado em (1,3,0).

Resposta

(a) (x-1)^21+(y-3)^22+z^22=1, elipsoide.
(b) Scappi:;(y-3)^2+z^2=2 no plano x=1.

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