Seja X sim Geo(p).
a) Encontre a função característica de X.
b) Determine os dois primeiros momentos de X por meio da função característica e a partir deles encontre a variância de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a distribuição geométrica, mais especificamente sobre encontrar a função característica e determinar os momentos e a variância dessa distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função característica e como ela se relaciona com os momentos de uma variável aleatória. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição geométrica. Se X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p , escrito X sim Geo(p) , isso significa que X representa o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso p .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função característica. Ela é uma ferramenta poderosa na teoria das probabilidades que nos ajuda a estudar as distribuições de variáveis aleatórias. A função característica de uma variável aleatória X é definida como:
phiX(t) = E[e^itX]
onde i é a unidade imaginária e t é um número real.

Passo 4

Para encontrar a função característica da X sim Geo(p) , vamos calcular a expectativa E[e^itX] . Sabemos que para a distribuição geométrica, a probabilidade de X = k é:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 p para k = 1, 2, 3, dots

Passo 5

Então, substituindo na definição da função característica:
phiX(t) = sumk=1^infty e^itk P(X = k) = sumk=1^infty e^itk (1 - p)^k-1 p

Passo 6

Vamos simplificar essa soma. Podemos fatorar p e reescrever a soma:
phiX(t) = p sumk=1^infty [ e^it (1 - p) ]^k-1 = p sumn=0^infty [ e^it (1 - p) ]^n
onde fizemos n = k - 1 .

Passo 7

Reconhecemos essa soma como uma série geométrica infinita, que converge para 11 - r quando |r| < 1 . Aqui, r = e^it(1 - p) , e como |e^it| = 1 e 0 < p <= 1 , a condição |r| < 1 é atendida.
Então,
phiX(t) = p cdot 11 - e^it(1 - p)

Passo 8

Simplificando ainda mais:
phiX(t) = p1 - (1 - p)e^it
Essa é a função característica da distribuição geométrica X sim Geo(p) .

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): determinar os dois primeiros momentos de X usando a função característica e, a partir deles, encontrar a variância de X .
Os momentos podem ser obtidos derivando a função característica. O n -ésimo momento é dado por:
E[X^n] = 1i^n d^ndt^n phiX(t) |t=0

Passo 10

Primeiro, vamos encontrar o primeiro momento, que é a esperança E[X] . Calculando a primeira derivada da função característica:
ddt phiX(t) = ddt ( p1 - (1 - p)e^it ) = p(1 - p)i e^it[1 - (1 - p)e^it]^2
Avaliando em t = 0 :
E[X] = 1i cdot p(1 - p)i[1 - (1 - p)]^2 |t=0 = p(1 - p)p^2 = 1 - pp

Passo 11

Agora, o segundo momento, E[X^2] . Calculamos a segunda derivada:
d^2dt^2 phiX(t) = ddt ( p(1 - p)i e^it[1 - (1 - p)e^it]^2 )
Isso resulta em uma expressão mais complexa, mas, ao avaliar em t = 0 , obtemos:
E[X^2] = 2(1 - p)p^2

Passo 12

Finalmente, para encontrar a variância Var(X) , usamos a relação:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Substituindo os valores encontrados:
Var(X) = 2(1 - p)p^2 - ( 1 - pp )^2 = 1 - pp^2

Resposta

A função característica de X sim Geo(p) é phiX(t) = p1 - (1 - p)e^it . Os dois primeiros momentos são E[X] = 1 - pp e E[X^2] = 2(1 - p)p^2 . A variância de X é Var(X) = 1 - pp^2 .

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