Seja .
a) Encontre a função característica de .
b) Determine os dois primeiros momentos de por meio da função característica e a partir deles encontre a variância de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a distribuição geométrica, mais especificamente sobre encontrar a função característica e determinar os momentos e a variância dessa distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função característica e como ela se relaciona com os momentos de uma variável aleatória. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição geométrica. Se segue uma distribuição geométrica com parâmetro , escrito , isso significa que representa o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função característica. Ela é uma ferramenta poderosa na teoria das probabilidades que nos ajuda a estudar as distribuições de variáveis aleatórias. A função característica de uma variável aleatória é definida como:
onde é a unidade imaginária e é um número real.
Passo 4
Para encontrar a função característica da , vamos calcular a expectativa . Sabemos que para a distribuição geométrica, a probabilidade de é:
Passo 5
Então, substituindo na definição da função característica:
Passo 6
Vamos simplificar essa soma. Podemos fatorar e reescrever a soma:
onde fizemos .
Passo 7
Reconhecemos essa soma como uma série geométrica infinita, que converge para quando . Aqui, , e como e , a condição é atendida.
Então,
Passo 8
Simplificando ainda mais:
Essa é a função característica da distribuição geométrica .
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b): determinar os dois primeiros momentos de usando a função característica e, a partir deles, encontrar a variância de .
Os momentos podem ser obtidos derivando a função característica. O -ésimo momento é dado por:
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar o primeiro momento, que é a esperança E[X] . Calculando a primeira derivada da função característica:
Isso resulta em uma expressão mais complexa, mas, ao avaliar em t = 0 , obtemos:
E[X^2] = 2(1 - p)p^2
Passo 12
Finalmente, para encontrar a variância Var(X) , usamos a relação:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Substituindo os valores encontrados:
Var(X) = 2(1 - p)p^2 - ( 1 - pp )^2 = 1 - pp^2
Resposta
A função característica de X sim Geo(p) é phiX(t) = p1 - (1 - p)e^it . Os dois primeiros momentos são E[X] = 1 - pp e E[X^2] = 2(1 - p)p^2 . A variância de X é Var(X) = 1 - pp^2 .