Considere uma distribuição contínua de carga ocupando uma esfera de raio a, centrada na origem, cuja densidade volumétrica é dada por
onde (
) são as coordenadas esféricas associadas ao ponto
e
é uma constante. Determine a expansão multipolar do potencial elétrico
para pontos externos (
a) até o termo dipolar.
Passo 1
O enunciado pede a expansão multipolar do potencial elétrico para pontos externos (
) até o termo dipolar. As informações dadas são:
onde
são coordenadas esféricas do ponto
, e
é constante. Queremos o potencial
para
até a ordem dipolar.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do que usaremos). Para pontos externos (
) o potencial eletrostático de uma distribuição de carga pode ser expandido em multipolos. Os dois primeiros termos são o monopolo e o dipolo:
onde:
é a carga total e
é o momento dipolar (vetor). Vou calcular
e
explicitamente para a densidade dada e então substituir na expressão acima.
Passo 3
Cálculo da carga total
. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
. Assim
Separe integrais:
Calcule cada parte:
Para a integral em
use
(
):
Portanto
. Interpretação física: a densidade tem sinal positivo numa metade e negativo na outra (por causa do
), cancelando a carga total.
Passo 4
Cálculo do momento dipolar
. Escrevemos o vetor posição em esféricas como
. Então
Note que por simetria em
as componentes
e
são nulas (os cossenos e senos de
se cancelam ao integrar
a
). Só sobrevive a componente ao longo do eixo
. Podemos, portanto, calcular:
Substituindo
e
:
Agrupando fatores:
Calcule cada integral:
Para a integral angular use
(
):
Agora junte tudo:
Logo o momento dipolar é
Passo 5
Escrevendo o potencial externo até o termo dipolar. Como
, o termo monopolar desaparece e o primeiro termo não-nulo é o dipolar:
Escolhendo o eixo
tal que
, tem-se
, onde
é o ângulo entre
e o eixo
. Substituindo
:
Simplificando
com
: