Considere uma distribuição contínua de carga ocupando uma esfera de raio a, centrada na origem, cuja densidade volumétrica é dada por
\rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=\rho_{0} \frac{r^{\prime}}{a} \cos \theta^{\prime}
onde ( r^{\prime}, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime} ) são as coordenadas esféricas associadas ao ponto \mathbf{r}^{\prime} e \rho_{0} é uma constante. Determine a expansão multipolar do potencial elétrico V(r) para pontos externos ( r \gg a) até o termo dipolar.

Passo 1

O enunciado pede a expansão multipolar do potencial elétrico para pontos externos ( r\gg a) até o termo dipolar. As informações dadas são:
\text{uma esfera de raio } a \text{ centrada na origem,}
\rho\big(\mathbf{r}'\big)=\rho_{0}\,\frac{r'}{a}\cos\theta',
onde (r',\theta',\varphi') são coordenadas esféricas do ponto \mathbf{r}', e \rho_{0} é constante. Queremos o potencial V(\mathbf{r}) para r\gg a até a ordem dipolar.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do que usaremos). Para pontos externos ( r\gg a) o potencial eletrostático de uma distribuição de carga pode ser expandido em multipolos. Os dois primeiros termos são o monopolo e o dipolo:
V(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf r}}{r^{2}}+\cdots\right),
onde:
Q=\int \rho(\mathbf{r}')\,d^{3}r'
é a carga total e
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}'\,\rho(\mathbf{r}')\,d^{3}r'
é o momento dipolar (vetor). Vou calcular Q e \mathbf{p} explicitamente para a densidade dada e então substituir na expressão acima.

Passo 3

Cálculo da carga total Q. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é d^{3}r'=r'^{2}\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'. Assim
Q=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} \rho_{0}\frac{r'}{a}\cos\theta'\; r'^{2}\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'.
Separe integrais:
Q=\rho_{0}\frac{1}{a}\left(\int_{0}^{a} r'^{3}\,dr'\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta'\sin\theta'\,d\theta'\right).
Calcule cada parte:
\int_{0}^{a} r'^{3}\,dr'=\frac{a^{4}}{4},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\varphi'=2\pi.
Para a integral em \theta' use u=\cos\theta' ( du=-\sin\theta'\,d\theta'):
\int_{0}^{\pi}\cos\theta'\sin\theta'\,d\theta'=\int_{1}^{-1} u\,(-du)=\int_{-1}^{1} u\,du=0.
Portanto Q=0. Interpretação física: a densidade tem sinal positivo numa metade e negativo na outra (por causa do \cos\theta'), cancelando a carga total.

Passo 4

Cálculo do momento dipolar \mathbf{p}. Escrevemos o vetor posição em esféricas como \mathbf{r}'=r'\,\hat{\mathbf r}'. Então
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}'\,\rho(\mathbf{r}')\,d^{3}r' =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} r'\hat{\mathbf r}' \cdot \rho_{0}\frac{r'}{a}\cos\theta'\; r'^{2}\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'.
Note que por simetria em \varphi' as componentes p_{x} e p_{y} são nulas (os cossenos e senos de \varphi' se cancelam ao integrar 0 a 2\pi). Só sobrevive a componente ao longo do eixo z. Podemos, portanto, calcular:
p_{z}=\int r'\cos\theta'\;\rho(\mathbf{r}')\,d^{3}r'.
Substituindo \rho e d^{3}r':
p_{z}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} r'\cos\theta'\;\rho_{0}\frac{r'}{a}\cos\theta'\; r'^{2}\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'.
Agrupando fatores:
p_{z}=\rho_{0}\frac{1}{a}\left(\int_{0}^{a} r'^{4}\,dr'\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta'\sin\theta'\,d\theta'\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{a} r'^{4}\,dr'=\frac{a^{5}}{5},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\varphi'=2\pi.
Para a integral angular use u=\cos\theta' ( du=-\sin\theta'\,d\theta'):
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta'\sin\theta'\,d\theta'=\int_{1}^{-1} u^{2}(-du)=\int_{-1}^{1} u^{2}\,du=\frac{2}{3}.
Agora junte tudo:
p_{z}=\rho_{0}\frac{1}{a}\cdot\frac{a^{5}}{5}\cdot 2\pi\cdot\frac{2}{3} =\rho_{0}\,\frac{4\pi}{15}\,a^{4}.
Logo o momento dipolar é
\mathbf{p}=p_{z}\,\hat{\mathbf z}=\frac{4\pi}{15}\rho_{0}a^{4}\,\hat{\mathbf z}.

Passo 5

Escrevendo o potencial externo até o termo dipolar. Como Q=0, o termo monopolar desaparece e o primeiro termo não-nulo é o dipolar:
V(\mathbf{r})\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf r}}{r^{2}}.
Escolhendo o eixo z tal que \mathbf{p}=p_{z}\hat{\mathbf z}, tem-se \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf r}=p_{z}\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e o eixo z. Substituindo p_{z}:
V(r,\theta)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\left(\dfrac{4\pi}{15}\rho_{0}a^{4}\right)\cos\theta}{r^{2}}.
Simplificando 4\pi com 1/(4\pi):
V(r,\theta)\approx \frac{\rho_{0}a^{4}}{15\varepsilon_{0}}\;\frac{\cos\theta}{r^{2}},\qquad (r\gg a).

Resposta

V(r,\theta)=\frac{\rho_{0}a^{4}}{15\varepsilon_{0}}\;\frac{\cos\theta}{r^{2}}\quad (r\gg a)

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