Considere a distribuição p(x)=2^{-x}, x=1,2,3, \ldots.
a) Ache P(X \geq x) e determine a sua f.d.a.
b) Determine P(X é par ).
c) Calcule P(X=4 \mid X é par );
d) Identifique a distribuição, bem como seu parâmetro.

Passo 1

O enunciado define uma variável discreta X com
p(x)=P(X=x)=2^{-x},\quad x=1,2,3,\ldots
O conteúdo aqui é distribuição geométrica (sucesso na primeira tentativa com probabilidade p). Precisamos achar
  1. P(X\ge x) e a f.d.a. F(x)=P(X\le x),
  2. P(X é par ),
  3. P(X=4\mid X é par ),
  4. identificar a distribuição e seu parâmetro.

Passo 2

Para P(X\ge x) somamos a cauda da série geométrica:
P(X\ge x)=\sum_{k=x}^{\infty}2^{-k}.
Como \sum_{k=x}^{\infty}r^k = r^x/(1-r) para r=1/2, temos
P(X\ge x)=\frac{(1/2)^x}{1-1/2}=2\cdot2^{-x}=2^{1-x}.

Passo 3

A f.d.a. é F(x)=P(X\le x)=1-P(X> x)=1-P(X\ge x+1). Logo
F(x)=1-2^{1-(x+1)}=1-2^{-x}.

Passo 4

Para P(X é par ) somamos sobre x=2k, k=1,2,\dots:
P(X\text{ é par})=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-2k} =\frac{(1/2)^2}{1-(1/2)^2} =\frac{1/4}{1-1/4} =\frac{1/4}{3/4} =\frac{1}{3}.é

Passo 5

O condicional é
P(X=4\mid X\text{ é par}) =\frac{P(X=4)}{P(X\text{ é par})} =\frac{2^{-4}}{1/3} =\frac{1/16}{1/3} =\frac{3}{16}.éé

Passo 6

Reconhecemos p(x)=2^{-x}=(1-p)^{x-1}p com p=1/2. Logo X é geométrica no suporte \{1,2,\dots\} com parâmetro de sucesso
p=\tfrac12.

Resposta

a) P(X\ge x)=2^{1-x} e F(x)=P(X\le x)=1-2^{-x}.
b) P(X\text{ é par})=\tfrac13.é
c) P(X=4\mid X\text{ é par})=\tfrac{3}{16}.é
d) X tem distribuição geométrica com p=\tfrac12.

Exercícios relacionados