Considere um sistema de filas do tipo M / M / 1 com as seguintes características:
  • Chegadas segundo um processo de Poisson com taxa clientes por minuto;
  • Tempos de servico exponenciais com média de 15 segundos;
  • Um único servidor;
    A) Calcule a probabilidade de o sistema estar vazio.
    B) Calcule o número médio de clientes no sistema
    C) Calcule o número médio de clientes na fila.
    D) Calcule o tempo médio que um cliente passa no sistema.
    E) Calcule o tempo médio que um cliente espera na fila.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de filas do tipo M/M/1 com taxa de chegada \lambda (clientes por minuto) segundo um processo de Poisson e tempos de serviço exponenciais com média de 15 segundos por cliente. Como estamos medindo chegadas em minutos, convertemos a média de serviço para minutos:
\mu = \frac{1}{\text{tempo médio de serviço em minutos}} = \frac{1}{15\\ \text{s}\times\frac{1\\ \text{min}}{60\\ \text{s}}} = \frac{1}{0,25\\ \text{min}} = 4\\ \text{clientes/min}.éç
O conteúdo aqui é a teoria de M/M/1: definições de taxa de chegada \lambda, taxa de serviço \mu e utilização \rho=\lambda/\mu.

Passo 2

Definimos o fator de utilização \rho, que é a razão entre chegada e serviço:
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{\lambda}{4}.
Para estabilidade do sistema precisamos ter \rho<1, isto é \lambda<4.

Passo 3

A probabilidade de o sistema estar vazio, que chamaremos de P_0, em um M/M/1 estacionário é
P_0 = 1 - \rho = 1 - \frac{\lambda}{4}.

Passo 4

O número médio de clientes no sistema (na fila mais em serviço) é dado por
L = \frac{\rho}{1-\rho} = \frac{\lambda/4}{1 - \lambda/4} = \frac{\lambda}{4 - \lambda}.

Passo 5

O número médio de clientes apenas na fila (excluindo o que está em serviço) é
L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho} = \frac{(\lambda/4)^2}{1 - \lambda/4} = \frac{\lambda^2}{4\,(4-\lambda)}.

Passo 6

O tempo médio que um cliente passa no sistema (espera mais serviço), pela Lei de Little L=\lambda W, é
W = \frac{L}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}\,\frac{\lambda}{4-\lambda} = \frac{1}{4-\lambda}\quad(\text{minutos}).

Passo 7

O tempo médio de espera apenas na fila, pela relação L_q=\lambda W_q, é
W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}\,\frac{\lambda^2}{4\,(4-\lambda)} = \frac{\lambda}{4\,(4-\lambda)} \quad(\text{minutos}).

Resposta

A) P_0 = 1 - \dfrac{\lambda}{4}.
B) L = \dfrac{\lambda}{4 - \lambda}.
C) L_q = \dfrac{\lambda^2}{4\,(4 - \lambda)}.
D) W = \dfrac{1}{4 - \lambda}\\ \text{min}.
E) W_q = \dfrac{\lambda}{4\,(4 - \lambda)}\\ \text{min}.

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