Seja
, um processo de Wiener padrão. Calcule a probabilidade de que o processo esteja abaixo de 2 no instante
, dado que ele valia 1 no instante
, isto é:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade condicional de um processo de Wiener padrão
no tempo
estar abaixo de
, dado que em
vale
. O conteúdo principal é usar as propriedades de incrementos independentes e gaussianos do processo de Wiener.
Passo 2
Pela propriedade de incrementos independentes, podemos escrever
onde o incremento
é independente de
e tem distribuição normal com média
e variância
.
Passo 3
Assim, a distribuição condicional de
dado
é
Queremos
Passo 4
Seja
. Então
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.