Seja W(t), t \geq 0, um processo de Wiener padrão. Calcule a probabilidade de que o processo esteja abaixo de 2 no instante t=3, dado que ele valia 1 no instante t=1, isto é:
P(W(3)<2 \mid W(1)=1)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade condicional de um processo de Wiener padrão W(t) no tempo t=3 estar abaixo de 2, dado que em t=1 vale 1. O conteúdo principal é usar as propriedades de incrementos independentes e gaussianos do processo de Wiener.

Passo 2

Pela propriedade de incrementos independentes, podemos escrever
W(3)=W(1)+\bigl(W(3)-W(1)\bigr),
onde o incremento W(3)-W(1) é independente de W(1) e tem distribuição normal com média 0 e variância 3-1=2.

Passo 3

Assim, a distribuição condicional de W(3) dado W(1)=1 é
W(3)\mid W(1)=1\sim \mathcal{N}\bigl(\mu=1,\;\sigma^2=2\bigr).
Queremos
P\bigl(W(3)<2\mid W(1)=1\bigr) =P\Bigl(\frac{W(3)-1}{\sqrt{2}}<\frac{2-1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 4

Seja Z\sim \mathcal{N}(0,1). Então
P\bigl(W(3)<2\mid W(1)=1\bigr) = P\Bigl(Z<\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = \Phi\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Resposta

\Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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