Considere dois campos escalares
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções escalares
, vale a relação
O conteúdo aqui é a definição de gradiente em coordenadas cartesianas e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Recordando a definição de gradiente: para qualquer escalar
,
Logo, devemos calcular cada derivada parcial de
.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto em cada componente. Por exemplo,
De modo análogo,
Passo 4
Reunindo essas componentes no vetor gradiente, obtemos
Isso pode ser reescrito como