Considere dois campos escalares g: R^3 R e f: R^3 R. Prove que nabla(f g)=f nabla g+g nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções escalares f,g:R^3toR, vale a relação
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f
O conteúdo aqui é a definição de gradiente em coordenadas cartesianas e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Recordando a definição de gradiente: para qualquer escalar h:R^3toR,
nabla h = l(partial hpartial x,,partial hpartial y,,partial hpartial zr)
Logo, devemos calcular cada derivada parcial de h=f,g.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em cada componente. Por exemplo,
partialpartial x(f,g) = partial fpartial x,g + f,partial gpartial x
De modo análogo,
partialpartial y(f,g) = partial fpartial y,g + f,partial gpartial y, partialpartial z(f,g) = partial fpartial z,g + f,partial gpartial z

Passo 4

Reunindo essas componentes no vetor gradiente, obtemos
nabla(fg) = l(partial fpartial x,g + f,partial gpartial x,; partial fpartial y,g + f,partial gpartial y,; partial fpartial z,g + f,partial gpartial zr)
Isso pode ser reescrito como
nabla(fg) = gl(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) + fl(partial gpartial x,partial gpartial y,partial gpartial zr) = g,nabla f + f,nabla g

Resposta

nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f.

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