Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados e constante segue-se que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os operadores divergente e rotacional são lineares. Isso significa verificar duas propriedades para quaisquer campos vetoriais e definidos em e para qualquer constante real : . . . .
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em termos de derivadas parciais, lembrando que a derivada parcial é um operador linear:
Passo 2
Usando a definição
aplique-a ao campo . Então
Pela linearidade da derivada parcial obtemos
Reagrupando,
ou seja
Passo 3
Para o rotacional temos a definição
Aplique-a a vec w=avec u+vec v. Cada componente é da forma tfracpartialpartial(cdot)(a,ui+vi),
e pela linearidade da derivada parcial cada termo gera