Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados u, v in R^3 e constante a in R segue-se que:
nabla cdot(a u+v)=a nabla cdot u+nabla cdot v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os operadores divergente e rotacional são lineares. Isso significa verificar duas propriedades para quaisquer campos vetoriais vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3) definidos em R^3 e para qualquer constante real a:
1. nablacdot(avec u+vec v)=a,nablacdotvec u+nablacdotvec v.
2. nablatimes(avec u+vec v)=a,nablatimesvec u+nablatimesvec v.
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em termos de derivadas parciais, lembrando que a derivada parcial é um operador linear:
partialpartial x(a,f+g) = a,partial fpartial x + partial gpartial x

Passo 2

Usando a definição
nablacdotvec w = partial w1partial x + partial w2partial y + partial w3partial z,
aplique-a ao campo vec w=avec u+vec v=(a,u1+v1,;a,u2+v2,;a,u3+v3). Então
nablacdot(avec u+vec v) =partial (a,u1+v1)partial x +partial (a,u2+v2)partial y +partial (a,u3+v3)partial z
Pela linearidade da derivada parcial obtemos
=;a,partial u1partial x +partial v1partial x ;+;a,partial u2partial y +partial v2partial y ;+;a,partial u3partial z +partial v3partial z
Reagrupando,
nablacdot(avec u+vec v) = al(tfracpartial u1partial x+tfracpartial u2partial y+tfracpartial u3partial zr) +l(tfracpartial v1partial x+tfracpartial v2partial y+tfracpartial v3partial zr),
ou seja
nablacdot(avec u+vec v) = a,nablacdotvec u + nablacdotvec v

Passo 3

Para o rotacional temos a definição
nablatimesvec w = partial w3partial y-partial w2partial z[6pt] partial w1partial z-partial w3partial x[6pt] partial w2partial x-partial w1partial y
Aplique-a a vec w=avec u+vec v. Cada componente é da forma
tfracpartialpartial(cdot)(a,ui+vi),
e pela linearidade da derivada parcial cada termo gera
a,partial uipartial(cdot) +partial vipartial(cdot)
Fazendo isso em todas as três componentes, factorizamos a e somamos as partes de vec v, obtendo
nablatimes(avec u+vec v) = a,(nablatimesvec u)+(nablatimesvec v) ]

Resposta

nablacdot(avec u+vec v) = a,nablacdotvec u + nablacdotvec v, nablatimes(avec u+vec v) = a,nablatimesvec u + nablatimesvec v

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