Considere o problema de valor inicial
Se
, determine o menor valor de
tal que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes (oscilador harmonicamente amortecido). Em seguida, devemos encontrar o menor
tal que
para todo
.
Passo 2
Determinamos a equação característica associada:
Suas raízes são
o que indica solução do tipo amortecido sobressinusal.
Passo 3
A forma geral da solução é
Passo 4
Calculamos
:
Impondo as condições iniciais:
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Passo 5
Podemos reescrever em forma de cosseno deslocado para ver o envelope de amortecimento:
cujo valor absoluto satisfaz
Passo 6
Queremos
para todo
. Isso equivale a
Passo 7
Portanto, o menor
que garante
para todo
é