Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime+2 a y^prime+(a^2+1) y=0 y(0)=1 e y^prime(0)=0
Se a=1, determine o menor valor de T tal que |varphi(t)|<1 / 10, para todo t>T.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
varphi''+2varphi'+2varphi=0, varphi(0)=1, varphi'(0)=0,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes (oscilador harmonicamente amortecido). Em seguida, devemos encontrar o menor T tal que |varphi(t)|<1/10 para todo t>T.

Passo 2

Determinamos a equação característica associada:
r^2+2r+2=0
Suas raízes são
r=-1pm i,
o que indica solução do tipo amortecido sobressinusal.

Passo 3

A forma geral da solução é
varphi(t)=e^-tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Calculamos varphi'(t):
varphi'(t)=e^-tl[-Acos t - Bsin t -Asin t + Bcos tr] =e^-tl[(B-A)cos t - (A+B)sin tr]
Impondo as condições iniciais:
varphi(0)=A=1, varphi'(0)=B-A=0 ;Rightarrow; B=1
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varphi(t)=e^-t(cos t + sin t)

Passo 5

Podemos reescrever em forma de cosseno deslocado para ver o envelope de amortecimento:
varphi(t) =raiz2,e^-tcosl(t-tfracpi4r),
cujo valor absoluto satisfaz
|varphi(t)|<= raiz2,e^-t

Passo 6

Queremos raiz2,e^-t<tfrac110 para todo t>T. Isso equivale a
e^-t<110raiz2 Longrightarrow -t<ln!l(tfrac110raiz2r) Longrightarrow t>lnl(10raiz2r)

Passo 7

Portanto, o menor T que garante |varphi(t)|<1/10 para todo t>T é
T=lnl(10raiz2r) =ln(10)+tfrac12ln(2)approx 2,65

Resposta

T=lnl(10raiz2r)approx2,65

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