Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime+2 a y^prime+(a^2+1) y=0 y(0)=1 e y^prime(0)=0
Encontre a única solução varphi para este problema.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' + 2a,y' + l(a^2+1r)y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos resolver via equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2a,r + l(a^2+1r) = 0
O discriminante é
De<a = (2a)^2 - 4(a^2+1) = 4a^2 - 4a^2 -4 = -4,
logo as raízes são
r = -2a pm raiz-42 = -a pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -apm i, a solução geral é
y(x) = e^-a xl(C1cos x + C2sin xr),
com constantes C1 e C2 a determinar pelos dados iniciais.

Passo 4

Usando y(0)=1:
1 = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) ;Longrightarrow; C1 = 1
Agora derivamos y:
y'(x) = e^-a xl[-al(C1cos x + C2sin xr) + l(-C1sin x + C2cos xr)r]
Em x=0 temos y'(0)=0, logo
0 = -a,C1 + C2 = -acdot1 + C2 ;Longrightarrow; C2 = a

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=a na solução geral, obtemos a única solução:
varphi(x) = e^-a xl(cos x + asin xr)

Resposta

varphi(x) = e^-a x(cos x + a sin x)

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