Considere dois capacitores cilíndricos, cada um deles formado por duas cascas cilíndricas coaxiais muito longas e finas, de comprimento L . A casca interna está carregada com carga +Q e a externa com carga -Q. As cascas do primeiro capacitor têm raios a e b, enquanto que as do segundo capacitor têm raios a e b^{\prime} (considere b>a e b^{\prime}> a ). Qual deve ser o valor de b^{\prime} para que a energia potencial elétrica total acumulada no campo elétrico do segundo capacitor seja metade da energia potencial elétrica total acumulada no campo elétrico do primeiro capacitor? Encontre b^{\prime} em termos de a e b.

Passo 1

O enunciado trata de dois capacitores cilíndricos coaxiais muito longos e finos, cada um com comprimento L, carga \,+Q na casca interna de raio a e -Q na casca externa. No primeiro capacitor a casca externa tem raio b, e no segundo raio b'. O conteúdo é energia armazenada em capacitores e capacitância de capacitores coaxiais.

Passo 2

A energia potencial elétrica armazenada num capacitor de capacitância C e carga Q é
U = \frac{Q^2}{2\,C}.
Para que a energia do segundo capacitor seja metade da do primeiro, basta exigir
U_2 = \tfrac12\,U_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q^2}{2\,C_2} = \frac12\;\frac{Q^2}{2\,C_1} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 2\,C_1.

Passo 3

A capacitância de um capacitor coaxial longo de cascas de raio interno a e externo r vale
C = \frac{2\pi\varepsilon\,L}{\ln\bigl(r/a\bigr)}.
Assim,
C_1 = \frac{2\pi\varepsilon\,L}{\ln(b/a)}, \qquad C_2 = \frac{2\pi\varepsilon\,L}{\ln(b'/a)}.

Passo 4

Da condição C_2 = 2\,C_1 temos
\frac{2\pi\varepsilon\,L}{\ln(b'/a)} = 2\;\frac{2\pi\varepsilon\,L}{\ln(b/a)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\ln(b'/a)} = \frac{2}{\ln(b/a)} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(b'/a\bigr) = \tfrac12\,\ln\bigl(b/a\bigr).

Passo 5

Exponenciando ambos os lados,
\frac{b'}{a} = \bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad b' = a\,\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{a\,b}.

Resposta

b' = \sqrt{a\,b}.

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