Uma esfera não-condutora de raio a possui uma carga total positiva Q. A densidade volumétrica de carga no interior da esfera é dada por:
\rho(r)=\rho_{0}\left(1-\frac{r}{a}\right)
onde \rho_{0} é uma constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que, o campo elétrico \vec{E}(r) no interior da esfera ( 0<r<a ) e o potencial elétrico V(r) no centro da esfera ( r=0 ) são, dados respectivamente por:
\vec{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4 a}\right) \text { e } V(0)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}} \frac{a^{2}}{6}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não-condutora de raio a com densidade volumétrica
\rho(r)=\rho_{0}\Bigl(1-\frac{r}{a}\Bigr)
e carga total Q>0. Queremos encontrar o campo elétrico \vec E(r) para 0<r<a usando a Lei de Gauss e, em seguida, o potencial elétrico no centro V(0) adotando V(\infty)=0.

Passo 2

Para aplicar Gauss precisamos da carga interna até um raio r<a:
Q_{\rm enc}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\;4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\Bigl(1-\frac{r'}{a}\Bigr)r'^{2}dr'
Calculando o integral:
\int_{0}^{r}\bigl(r'^{2}-\frac{r'^{3}}{a}\bigr)dr' =\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4a}
Logo
Q_{\rm enc}(r)=4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4a}\Bigr).

Passo 3

Pela Lei de Gauss em simetria esférica temos
\oint\vec E\cdot d\vec A =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\rm enc}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Assim
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \;4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4a}\Bigr) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4a}\Bigr).
O vetor campo é radial, ou seja \vec E(r)=E(r)\,\hat r.

Passo 4

Para calcular V(0) precisamos também do campo externo, que vem de Q=Q_{\rm enc}(a).
Q=4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{4}}{4a}\Bigr) =4\pi\rho_{0}\,a^{3}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) =\frac{\pi\rho_{0}a^{3}}{3}.
Então, para r>a,
E_{\rm ext}(r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} =\frac{\rho_{0}a^{3}}{12\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 5

Usando V(\infty)=0 e
V(0)-V(\infty) =-\int_{\infty}^{0}\vec E\cdot d\vec \ell =\int_{0}^{\infty}E(r)\,dr,
partimos em duas regiões:
  1. 0\le r\le a:
\int_{0}^{a}E(r)\,dr =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4a}\Bigr)dr =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl[\frac{r^{2}}{6}-\frac{r^{3}}{12a}\Bigr]_{0}^{a} =\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\,\varepsilon_{0}}.
  1. a\le r<\infty:
\int_{a}^{\infty}E_{\rm ext}(r)\,dr =\frac{\rho_{0}a^{3}}{12\,\varepsilon_{0}}\int_{a}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}a^{3}}{12\,\varepsilon_{0}}\Bigl[\frac{1}{a}\Bigr] =\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\,\varepsilon_{0}}.
Somando as duas partes dá
V(0)=\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\,\varepsilon_{0}} +\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\,\varepsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4a}\Bigr)\,\hat r para 0<r<a \displaystyle V(0)=\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{6\,\varepsilon_{0}}

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