Uma esfera não-condutora de raio
possui uma carga total positiva
. A densidade volumétrica de carga no interior da esfera é dada por:
onde
é uma constante e
é a distância ao centro da esfera. Mostre que, o campo elétrico
no interior da esfera (
) e o potencial elétrico
no centro da esfera (
) são, dados respectivamente por:
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera não-condutora de raio
com densidade volumétrica
e carga total
. Queremos encontrar o campo elétrico
para
usando a Lei de Gauss e, em seguida, o potencial elétrico no centro
adotando
.
Passo 2
Para aplicar Gauss precisamos da carga interna até um raio
:
Calculando o integral:
Logo
Passo 3
Pela Lei de Gauss em simetria esférica temos
Assim
O vetor campo é radial, ou seja
.
Passo 4
Para calcular
precisamos também do campo externo, que vem de
.
Então, para
,
Passo 5
Usando
e
partimos em duas regiões:
-
:
-
:
Somando as duas partes dá