Duas esferas idênticas de raio R e perfeitamente condutoras estão localizadas no vácuo, separadas por uma distância muito grande. Inicialmente, uma está neutra e a outra está carregada com carga elétrica Q. Elas são colocadas em contato e o equilíbrio elétrico é estabelecido. Em seguida, são levadas de volta para suas posições iniciais. Qual a variação da energia armazenada no campo elétrico entre a situação inicial e a situação final?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas esferas metálicas idênticas de raio R, muito distantes entre si de modo que a energia de interação seja desprezível. Inicialmente uma esfera está neutra e a outra com carga Q. Colocando-as em contato, o equilíbrio faz ficar Q/2 em cada uma; depois são afastadas à mesma distância inicial. Precisamos calcular a variação da energia do campo elétrico entre antes e depois. Para isso vamos usar a expressão da energia eletrostática armazenada em uma esfera condutora:
U_{\text{auto}}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0\,R}\,.

Passo 2

Calcular a energia inicial U_i. Só uma esfera está carregada com Q, e a outra está neutra (energia nula). Assim
U_i = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0\,R}\,.

Passo 3

Calcular a energia final U_f. Agora temos duas esferas, cada uma com carga Q/2, e desprezamos a energia de interação pois estão muito afastadas. Cada esfera armazena
U_{\text{cada}} = \frac{(Q/2)^2}{8\pi\varepsilon_0\,R} = \frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0\,R}\,.
Como são duas,
U_f = 2 \times \frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0\,R} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,R}\,.

Passo 4

Determinar a variação \Delta U = U_f - U_i:
\Delta U = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,R} \;-\; \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0\,R} = -\,\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,R}\,.
O sinal negativo indica que parte da energia foi dissipada (joule) durante o fluxo de carga no contato.

Resposta

\Delta U = -\,\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,R}\,.

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