Determine a fase das substâncias a seguir e encontre os valores das quantidades ausentes.
Nitrogênio: 120 \mathrm{~K}, v=0,0050 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}, Z= ?

Passo 1

Enunciado e dados (colhidos do enunciado):
  • Substância: nitrogênio.
  • Temperatura: T=120\\ \mathrm{K}.
  • Volume específico: v=0,0050\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Pedem: determinar a fase e encontrar o fator de compressibilidade Z (valor ausente).
Observações essenciais que vêm do enunciado:
  • Não foi dada a pressão; para decidir a fase preciso comparar v com os volumes específicos de líquido saturado v_f e vapor saturado v_g à mesma temperatura T=120\\ \mathrm{K}. Assim precisarei obter a pressão de saturação P_{sat}(T) e os volumes saturados; na falta de uma tabela usarei métodos de estimativa razoáveis e explicados passo a passo.

Passo 2

Plano e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Definição do fator de compressibilidade:
Z=\frac{P\,v}{R\,T},
onde P é a pressão real, v o volume específico, R a constante específica da substância (J/kg·K) e T a temperatura (K).
  • Para saber a fase sem pressão dada: comparar v com v_f(T) e v_g(T).
    • Se v<v_f então é líquido comprimido.
    • Se v_f \le v \le v_g então é mistura saturada (líquido+vapor) e podemos obter a qualidade x por
    v=(1-x)\,v_f + x\,v_g \quad\Rightarrow\quad x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.
    • Se v>v_g então é vapor superaquecido.
  • Como não temos tabela, vamos estimar P_{sat}(120\\ \mathrm{K}) usando a forma integrada aproximada da equação de Clapeyron–Clausius (assumindo L praticamente constante entre duas temperaturas):
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{L}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Aqui:
  • escolho T_1=77{,}36\\ \mathrm{K} (ponto de ebulição normal do N _2), com P_1=101325\\ \mathrm{Pa},
  • L é o calor latente (aproximarei por L\approx199\,000\\ \mathrm{J/kg}, valor típico de vaporização do N _2 perto do ponto de ebulição),
  • R é a constante específica do N _2: R=\dfrac{8{,}314462618}{0{,}0280134}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Explico: essa é uma aproximação clássica que funciona razoavelmente bem quando não se tem tabela e faz estimativas aceitáveis para P_{sat} a distâncias moderadas da temperatura de referência.

Passo 3

Cálculo de constantes numéricas (passo-a-passo com contas):
  • constante específica do nitrogênio:
R=\frac{8{,}314462618}{0{,}0280134}\approx 296{,}80\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Explanação: 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a constante universal; divide-se pela massa molar em kg/mol para obter R por kg.)
  • Dados usados: T_1=77{,}36\\ \mathrm{K}, P_1=101325\\ \mathrm{Pa}, T_2=120\\ \mathrm{K}, L=199{,}000\\ \mathrm{J/kg}.
  • Aplicando Clausius–Clapeyron:
\ln\!\left(\frac{P_{sat}}{101325}\right)=-\frac{199000}{296{,}80}\!\left(\frac{1}{120}-\frac{1}{77{,}36}\right).
Calculemos passo a passo dentro do parêntese:
\frac{1}{120}=0{,}0083333\quad,\quad \frac{1}{77{,}36}\approx 0{,}012922,
\Delta\left(\frac{1}{T}\right)=0{,}0083333-0{,}012922\approx -0{,}0045887,
\frac{L}{R}\approx\frac{199000}{296{,}80}\approx 670{,}25,
-\frac{L}{R}\Delta\!\left(\frac{1}{T}\right)\approx -670{,}25\times(-0{,}0045887)\approx 3{,}077.
Logo
\ln\!\left(\frac{P_{sat}}{101325}\right)\approx 3{,}077\quad\Rightarrow\quad P_{sat}\approx 101325\;e^{3{,}077}\approx 2{,}198\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
(Interpretação: a pressão de saturação estimada a 120\\ \mathrm{K} é aproximadamente 2{,}20\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 4

Determinar v_g (volume específico do vapor saturado) com a aproximação do gás ideal para o vapor saturado:
  • Para o vapor saturado, em primeira aproximação usamos v_g\approx \dfrac{R\,T}{P_{sat}} (válido quando vapor não muito denso).
v_g\approx\frac{296{,}80\times 120}{2{,}198\times10^{6}} =\frac{35\,616}{2{,}198\times10^{6}} \approx 0{,}01620\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
(Comentário: esse é um valor aproximado mas razoável para o vapor saturado à pressão estimada.)

Passo 5

Estimar v_f (volume específico do líquido saturado) em 120\\ \mathrm{K}.
  • Como não temos tabela, faço uma estimativa linear razoável para a densidade do líquido entre o ponto de ebulição normal e o ponto crítico (método simples mas justificável para uma estimativa rápida):
    • densidade do líquido a 77{,}36\\ \mathrm{K}: \rho_{77}\approx 808\\ \mathrm{kg/m^3} (valor conhecido para N _2 líquido a ebulição normal),
    • densidade crítica: \rho_c\approx 313\\ \mathrm{kg/m^3} (valor conhecido para N _2),
    • interpolo linearmente em T até T=120\\ \mathrm{K}:
\rho(120)\approx \rho_c + (\rho_{77}-\rho_c)\frac{T_c-T}{T_c-77{,}36},
com T_c=126{,}2\\ \mathrm{K}. Calculando:
\frac{T_c-T}{T_c-77{,}36}=\frac{126{,}2-120}{126{,}2-77{,}36}\approx\frac{6{,}2}{48{,}84}\approx0{,}1269,
\rho(120)\approx 313 + (808-313)\times 0{,}1269\approx 313 + 495\times0{,}1269\approx 375{,}8\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Logo
v_f\approx\frac{1}{\rho(120)}\approx\frac{1}{375{,}8}\approx 0{,}002661\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
(Aviso: esta é uma estimativa; tabelas dão valores mais precisos, mas para decidir a fase e estimar a qualidade funciona bem.)

Passo 6

Comparação e conclusão sobre a fase:
  • Temos v_f\approx 0{,}002661\\ \mathrm{m^{3}/kg} e v_g\approx 0{,}01620\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • O volume dado v=0{,}0050\\ \mathrm{m^{3}/kg} satisfaz
v_f < v < v_g,
portanto o nitrogênio está na região de mistura saturada (mistura líquido + vapor) à temperatura 120\\ \mathrm{K}. Em linguagem de prova: é uma mistura saturada.

Passo 7

Calcular a qualidade x (fração em massa de vapor) e depois Z.
  • Qualidade:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}=\frac{0{,}0050-0{,}002661}{0{,}01620-0{,}002661} =\frac{0{,}002339}{0{,}013539}\approx 0{,}1728\approx 0{,}173.
Interpretação: cerca de 17{,}3\% em massa é vapor saturado; o restante é líquido saturado.
  • Agora o fator de compressibilidade Z: usar a pressão de saturação (que já estimamos) e a definição Z=P v/(R T).
Z=\frac{P_{sat}\,v}{R\,T} =\frac{2{,}198\times10^{6}\times 0{,}0050}{296{,}80\times 120} =\frac{10\,988}{35\,616}\approx 0{,}3086\approx 0{,}309.
Explicação: esse Z é o valor correspondente à mistura (usando a pressão de saturação); para misturas saturadas Z pode ser muito diferente de 1.

Passo 8

Observações finais e limites da estimativa (para a hora da prova):
  • Os passos chave que a banca espera: identificar que T<T_c e comparar v com v_f e v_g; se não houver tabela, estimativas com Clausius–Clapeyron para P_{sat} e aproximação ideal para v_g são aceitáveis para exercício de prova rápida.
  • Fontes de erro: usei L aproximado constante e interpolação linear para \rho_f; tabelas reais de propriedades fornecem valores mais precisos, mas o método e a ordem de grandeza estão corretas.
  • Resultado numérico final (arredondado com precisão razoável) dado abaixo.

Resposta

Fase: mistura saturada (líquido + vapor), qualidade x\approx 0{,}173
Z\approx 0{,}309

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