3́ Considere dois cones de tamanhos diferentes, ambos em forma de cone circular reto. O cone maior tem raio da base 6 dm e altura 12dm. O cone menor está inscrito no maior de “cabeça para baixo”, de tal forma que as bases dos cones são paralelas e o vértice do cone menor coincide com o centro da base do maior. Encontre as dimensões do cone inscrito de maior volume.

Passo 1

O enunciado fala de dois cones circulares retos: um cone maior de raio da base 6 dm e altura 12 dm, e um cone menor “de cabeça para baixo” inscrito no interior do maior, de modo que o vértice do menor coincide com o centro da base do maior e as bases são paralelas. Queremos achar a altura h e o raio r do cone menor que tornam seu volume máximo. Para isso vamos usar semelhança de triângulos (para relacionar r e h) e depois cálculo de máximo (derivada do volume).

Passo 2

Considere um plano paralelo à base do cone maior a uma distância h acima do centro da base. Nesse plano, o raio da seção do cone maior vale, por semelhança,
R(h)=6\;\bigl(1-\tfrac{h}{12}\bigr)=6-\tfrac{h}{2}.
Para o cone menor ficar exatamente inscrito, sua base deve coincidir com essa seção, logo
r = 6 - \tfrac{h}{2}.

Passo 3

O volume do cone menor em função de h é
V(h)=\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h =\frac{1}{3}\,\pi\bigl(6-\tfrac{h}{2}\bigr)^{2}h.
Para facilitar, note que 6-\tfrac{h}{2}=\tfrac{12-h}{2}, então
V(h) =\frac{1}{3}\,\pi\;\frac{(12-h)^2}{4}\;h =\frac{\pi}{12}\;h\,(12-h)^2.

Passo 4

Para achar o máximo de V(h) em 0<h<12, derivamos:
V'(h)=\frac{\pi}{12}\,\Bigl[(12-h)^2 + h\cdot 2(12-h)(-1)\Bigr] =\frac{\pi}{12}\,(12-h)(12-3h).
Igualando V'(h)=0 obtemos h=12 (que zera o volume) ou
12-3h=0 \quad\Longrightarrow\quad h=4\\ \text{dm}.
É esse ponto crítico que dá o volume máximo.

Passo 5

Substituindo h=4 em r=6-\tfrac{h}{2} vem
r=6-\tfrac{4}{2}=6-2=4\\ \text{dm}.

Resposta

O cone inscrito de maior volume tem altura 4 dm e raio da base 4 dm.

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