3́ Considere dois cones de tamanhos diferentes, ambos em forma de cone circular reto. O cone maior tem raio da base 6 dm e altura 12dm. O cone menor está inscrito no maior de “cabeça para baixo”, de tal forma que as bases dos cones são paralelas e o vértice do cone menor coincide com o centro da base do maior. Encontre as dimensões do cone inscrito de maior volume.
Passo 1
O enunciado fala de dois cones circulares retos: um cone maior de raio da base
dm e altura
dm, e um cone menor “de cabeça para baixo” inscrito no interior do maior, de modo que o vértice do menor coincide com o centro da base do maior e as bases são paralelas. Queremos achar a altura
e o raio
do cone menor que tornam seu volume máximo. Para isso vamos usar semelhança de triângulos (para relacionar
e
) e depois cálculo de máximo (derivada do volume).
Passo 2
Considere um plano paralelo à base do cone maior a uma distância
acima do centro da base. Nesse plano, o raio da seção do cone maior vale, por semelhança,
Para o cone menor ficar exatamente inscrito, sua base deve coincidir com essa seção, logo
Passo 3
O volume do cone menor em função de
é
Para facilitar, note que
, então
Passo 4
Para achar o máximo de
em
, derivamos:
Igualando
obtemos
(que zera o volume) ou
É esse ponto crítico que dá o volume máximo.
Passo 5
Substituindo
em
vem
Resposta
O cone inscrito de maior volume tem altura
dm e raio da base
dm.