2 a Esboce o gráfico da função
, encontrando os intervalos onde essa função é crescente e onde é decrescente; localize os pontos críticos de
; encontre todas as assíntotas de
e estude seu comportamento no infinito, quando possível; classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e encontrar
- intervalos de crescimento e decrescimento;
- pontos críticos;
- todas as assíntotas e comportamento no infinito;
- classificar os pontos críticos.
Para isso vamos usar: domínio de, derivada , limites quando o denominador da ln zera ou vai a zero, e análise de sinal de .
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Precisamos de
Precisamos de
A primeira condição dá
A segunda exclui
, ou seja
, logo
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Calcular
. Seja
então
e
Logo
Como
no domínio, o sinal de
é o de
Mas em
temos
, então
Passo 4
Determinar intervalos de monotonicidade e pontos críticos:
- Se
(isto é em , excluindo ), então : é decrescente. - Se
(em , excluindo ), então : é crescente.
Pontos ondeocorrem em . Pontos onde não existe são (vertical) e nas bordas .
Passo 5
Classificar o ponto crítico
.
Como decresce em
e cresce em
, o ponto
é um mínimo local.
O valor é
Como
O valor é
Não há máximo local dentro do domínio, nem máximos/minimos absolutos, pois
e
perto de
.
Passo 6
Encontrar assíntotas:
Verticais: onde , ou seja
.
Verticais: onde
- Para
, , , então . - Para
, , , então .
Analogamente em.
Horizontais: nos limites de domínio:
Portanto a reta
é assíntota horizontal quando
.
Não há comportamento em pois a função não está definida além de
.
Não há comportamento em
Resposta
Intervalos de monotonicidade:
é decrescente em
e em
;
é crescente em
e em
.
Ponto crítico:
, com
, é mínimo local.
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal:
quando
.
Não há máximos locais nem extremos absolutos no domínio.