2 a Esboce o gráfico da função f(x)=\frac{1}{\ln \left(5-x^{2}\right)}, encontrando os intervalos onde essa função é crescente e onde é decrescente; localize os pontos críticos de f; encontre todas as assíntotas de f e estude seu comportamento no infinito, quando possível; classifique os pontos críticos, se são máximo local ou mínimo local, ou, analisando o gráfico, se são também máximo absoluto ou mínimo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=\frac{1}{\ln\bigl(5 - x^{2}\bigr)}
e encontrar
  1. intervalos de crescimento e decrescimento;
  2. pontos críticos;
  3. todas as assíntotas e comportamento no infinito;
  4. classificar os pontos críticos.
    Para isso vamos usar: domínio de f, derivada f', limites quando o denominador da ln zera ou vai a zero, e análise de sinal de f'.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Precisamos de
5 - x^{2} > 0 \quad\text{e}\quad \ln\bigl(5 - x^{2}\bigr)\neq 0.
A primeira condição dá
-\,\sqrt{5}<x<\sqrt{5}.
A segunda exclui 5 - x^{2}=1, ou seja x^{2}=4, logo x\neq \pm 2.
Portanto
\mathrm{Dom}(f)=(-\sqrt{5},-2)\,\cup\,(-2,2)\,\cup\,(2,\sqrt{5}).

Passo 3

Calcular f'(x). Seja
u(x)=\ln\bigl(5 - x^{2}\bigr),
então f(x)=1/u(x) e
u'(x)=\frac{-2x}{5 - x^{2}}.
Logo
f'(x) =-\frac{u'(x)}{[u(x)]^{2}} =-\frac{-2x/(5 - x^{2})}{\bigl[\ln(5 - x^{2})\bigr]^{2}} =\frac{2x}{(5 - x^{2})\,\bigl[\ln(5 - x^{2})\bigr]^{2}}.
Como \bigl[\ln(5 - x^{2})\bigr]^{2}>0 no domínio, o sinal de f' é o de
\frac{x}{5 - x^{2}}.
Mas em -\sqrt{5}<x<\sqrt{5} temos 5 - x^{2}>0, então
\operatorname{sgn}f'(x)=\operatorname{sgn}(x).

Passo 4

Determinar intervalos de monotonicidade e pontos críticos:
  • Se x<0 (isto é em -\sqrt{5}<x<0, excluindo -2), então f'(x)<0: f é decrescente.
  • Se x>0 (em 0<x<\sqrt{5}, excluindo 2), então f'(x)>0: f é crescente.
    Pontos onde f'=0 ocorrem em x=0. Pontos onde f' não existe são x=\pm2 (vertical) e nas bordas x=\pm\sqrt{5}.

Passo 5

Classificar o ponto crítico x=0.
Como f decresce em (-2,0) e cresce em (0,2), o ponto x=0 é um mínimo local.
O valor é
f(0)=\frac{1}{\ln(5)}.
Não há máximo local dentro do domínio, nem máximos/minimos absolutos, pois f\to+\infty e f\to-\infty perto de x=\pm2.

Passo 6

Encontrar assíntotas:
Verticais: onde \ln(5 - x^{2})\to 0, ou seja x\to\pm2.
  • Para x\to2^{-}, 5 - x^{2}\to1^{+}, \ln\to0^{+}, então f\to+\infty.
  • Para x\to2^{+}, 5 - x^{2}\to1^{-}, \ln\to0^{-}, então f\to-\infty.
    Analogamente em x\to-2^\pm.
    Horizontais: nos limites de domínio x\to\pm\sqrt{5}:
5 - x^{2}\to0^{+} \;\Longrightarrow\; \ln(5 - x^{2})\to -\infty \;\Longrightarrow\; f(x)\to 0^{-}.
Portanto a reta y=0 é assíntota horizontal quando x\to\pm\sqrt{5}.
Não há comportamento em x\to\pm\infty pois a função não está definida além de \pm\sqrt{5}.

Resposta

Intervalos de monotonicidade:
f é decrescente em (-\sqrt{5},-2) e em (-2,0);
f é crescente em (0,2) e em (2,\sqrt{5}).
Ponto crítico:
x=0, com f(0)=1/\ln(5), é mínimo local.
Assíntotas verticais:
x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal:
y=0 quando x\to\pm\sqrt{5}.
Não há máximos locais nem extremos absolutos no domínio.

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